2.2. Элементы схем

В связи с тем что рассматриваются только линейные, сосредоточенные и инвариантные во времени элементы, созданные на основе соединения этих элементов, фильтры называются линейными, сосредоточенными и инвариантными во времени. (Для удобства при описании элемента или схемы определения «линейный», «сосредоточенный» и «инвариантный во времени» опускаются.) Эти элементы, используемые для построения такого типа фильтров, можно классифицировать двумя широкими категориями: основная элементная база и дополнительная элементная база. Такая классификация основывается на том положении, что каждый элемент категории дополнительной элементной базы можно реализовать, соединяя элементы, принадлежащие

к категории основной элементной базы. Очевидно, что дополнительная элементная база не является основополагающей; однако она полезна как концептуальный инструмент.

2.2.1. Основная элементная база

К этой категории принадлежат:

1. Резисторы. Показанный на рис. 2.3, а резистор характеризуется соотношением или где

2. Конденсаторы. Показанный на рис. 2.3, б конденсатор описывается соотношением или

Рис. 2.3. Основная элементная база. а — резистор; б — конденсатор; в — катушка индуктивности; г — операционный усилитель,

3. Катушки индуктивности. Катушка индуктивности (рис. 2.3, в) задается соотношением или .

4. Операционные усилители На рис. 2.3, г показан операционный усилитель, который характеризуется: а) входным полным сопротивлением выходным полным сопротивлением при где представляют собой соответственно напряжения между узлом 1 и землей, узлом 2 и землей и узлом 3 и землей. Это шестиполюсное устройство можно представить в следующем виде:

где . Обычно соединение с землей не изображается.

До того как перейти к дальнейшему рассмотрению, необходимо подчеркнуть, что эта основная элементная база содержит исключительно идеальные элементы; они являются изображением на бумаге с помощью карандаша, а не реальными физическими объектами. В общем случае электрические характеристики реального физического элемента можно смоделировать с достаточной степенью точности на основе соединения этих идеальных элементов. Например, реальную катушку индуктивности в большинстве случаев можно точно смоделировать с помощью последовательного соединения идеального резистора и идеальной катушки индуктивности.

Рис. 2.4. Пример, иллюстрирующий применение принципа виртуального короткого замыкания.

В действительности рабочие характеристики многих элементов не отличаются значительно от их идеальных характеристик, особенно если они рассчитаны для функционирования в определенных для них рабочих пределах. Другой момент, который следует отметить, это то, что физический имеет характеристики, близкие к ранее определенным идеальным характеристикам при обеспечении должного смещения, фазовой коррекции и точной балансировки при условии, что он работает в низкочастотном диапазоне и при уровне его выходного напряжения , где Е в основном составляет несколько вольт, которые зависят от источников питания.

Для обеспечения некоторого сокращения в расчетах схем на ОУ заметим, что , т. е. означает отсутствие тока через входные зажимы ОУ. Кроме того, применим принцип виртуального короткого замыкания, который устанавливает следующее.

Принцип виртуального короткого замыкания. Если входные зажимы ОУ через узлы 1 и 2 не соединены непосредственно

с зажимами независимого или управляемого источника напряжения, то

Для иллюстрации пользы этого принципа при вычислении проанализируем схему на рис. 2.4 двумя способами: с помощью принципа виртуального короткого замыкания и без него.

Найдем теперь соотношение между без применения принципа виртуального короткого замыкания. Поскольку узловое уравнение в узле 1 дает

Контурное уравнение по узлам 3413 устанавливает следующее:

Из другого контурного уравнения по узлам 414 получаем

Кроме того, из характеристик следует, что

Для того чтобы найти соотношение между и Увых, постараемся исключить все другие переменные в уравнениях (2.8) — (2.11). Уравнения (2.8) и (2.10) устанавливают, что

Подставляя соотношение (2.12) в уравнения (2.9) и (2.11), получаем следующее выражение:

которое можно переписать в виде

Подставляя выражение (2.14) в первую половину соотношения (2.13), получаем

Поскольку

При использовании принципа виртуального короткого замыкания и проведении вычислений сначала видно, что эти вычисления упрощаются:

Контурное уравнение по узлам 3413 и узловое уравнение в узле 1 дают

Используя соотношения (2.16) и (2.18), приведем уравнение (2.17) к виду

который является результатом, полученным в выражении (2.15) после многочисленных вычислений.

Операционные усилители более подробно рассматриваются далее совместно с синтезом активных фильтров в гл. 10.