11.3. Преобразование Фурье

Преобразование Фурье последовательности определяется следующим образом:

Сравнивая уравнения (11.25) и (11.89), можно заключить, что преобразование Фурье представляет собой z-преобразование последовательности, которое определяется вдоль единичной окружности в z-плоскости, как показано на рис. 11.7. Таким образом,

В последующем используется для обозначения преобразования Фурье последовательности , где -преобразование от

Заметим, что для любого целого числа имеем

Следовательно,

Это означает, что преобразование Фурье последовательности является периодической функцией переменной .

Рис. 11.7. Преобразованием Фурье являются -преобразования, вычисленные вдоль единичной окружности.

Пример 11.13. Определить преобразование Фурье последовательности заданной выражением

Решение. Из уравнения (1189) преобразование Фурье последовательности имеет вид

Поскольку числитель и знаменатель правой части уравнения (11.94 а) являются периодическими функциями, так как

где — целое число, то можно заключить, что функция в выражении (11.94) является периодической функцией переменной .

Рассмотрим линейную цифровую систему с постоянными параметрами, которая характеризуется импульсной характеристикой Задав входную последовательность с помощью свертки по уравнению (11,17) можно определить выходную последовательность

при нулевых начальных условиях. Предположим, что последовательность определяется как

тогда выходная последовательность имеет вид

где — входная экспоненциальная частота. Множитель (не зависящий от ) в уравнении (11.97) преобразует входную экспоненциальную последовательность в выходную последовательность Поскольку входная последовательность заданная выражением (11.96), функционально эквивалентна дискретизированной синусоиде с частотой , множитель называют частотной характеристикой системы. Другими словами, частотная характеристика представляет собой передаточную функцию системы вычисленную вдоль единичной окружности в -плоскости при подстановке для [Заметим, что является z-преобразованием, а — пфеобразованием Фурье импульсной характеристики системы.] Из соотношения (11.97) следует, что при синусоидальной входной последовательности выходная последовательность получается простым умножением входного воздействия на частотную характеристику системы.

Пример 11.14. Система описывается выражением вида

Определить выходную последовательность при следующем входном воздействии:

Решение. Производя -преобразование уравнения (11.98), получаем

Следовательно, система имеет передаточную функцию, определяемую как

Перепишем входную последовательность следующим образом:

Из уравнения (11.97) определим отклики соответственно на воздействия

Поэтому из свойства линейности определяем выходную последовательность