3.2.3. Фаза и модуль

Процедура построения, приведенная в предыдущем разделе, дает метод получения функции по заданным ее четной или нечетной части. В этом смысле она аналогична преобразованию Гильберта, где имеют дело с вещественной и мнимой частями функции Поскольку преобразование Гильберта устанавливает также, что если заданы или фазовый угол, или функция потерь [доказав, конечно, что - минимально-фазовая функция], то сама функция полностью определена, и естественным является вопрос: задав фазу или модуль, можно создать единственным образом минимально-фазовую функцию цепи не обращаясь к интегралам Гильберта? Ответы на обе части этого вопроса являются утвердительными. Однако процедуры построения для этих двух задач совершенно различны. Найдем их решения поодиночке.

Рассмотрим функцию цепи помощью соотношения (3.15), получаем

где

Следует отметить, что представляет собой нечетный полином, а — четный полином. Если сложить вместе получим

Уравнение (3.63) является основным при построении функции Если предположить, что представляет собой минимально-фазовую функцию, то все ее нули и полюсы будут располагаться в левой половине -плоскости. Таким образом:

1. Все корни полинома будут располагаться в левой половине -плоскости.

2. Все корни полинома будут располагаться в левой половине s-плоскости. Из леммы 3.1 следует, что все корни полинома В будут располагаться в правой половине s-плоскости.

Следовательно, уравнение (3.63) описывает следующую процедуру построения функции [при условии, что является минимально-фазовой функцией]:

Процедура построения 3.2

1. Пусть Заметим, что раз задана то можно получить функции .

2. Разложить на множители или, что эквивалентно, расположить корни полинома

3. Множители, определяемые корнями полинома в левой половине s-плоскости, приписываются полиному а множители, определяемые правой половиной s-плоскости полинома приписываются полиному

4. Найти полином с помощью простой замены s на в выражении для найденном на этапе 3.

5. Сформировать функцию

Эта процедура приведет к единственной минимально-фазовой функции цепи Если не разделять множители, как рекомендовано в этапе 3, то некоторые корни полинома в правой половине s-плоскости будут принадлежать полиному и, следовательно, функция уже не будет минимально-фазовой и процедура построения не будет приводить к единственной функции

Пример 3.5. Построить функцию на основе следующей фазовой характеристики:

Решение. При подстановке получаем

Таким образом, Дальнейшие вычисления проведем согласно методике, приведенной в процедуре построения 3.2.

3. Положим, что используется в качестве полинома качестве полинома Таким образом,

4. Следовательно,

Перед тем как перейти к описанию процедуры построения минимально-фазовой функции цепи по заданному ее модулю рассмотрим важное свойство функции Поскольку коэффициенты рациональной функции представляют собой вещественные числа, получаем

Если функция задана соотношением (3.33), то можно записать

Это означает, что и полюсы, и нули функции встречаются с квадрантной симметрией. Следовательно, уравнение (3.67) дает ключ к построению минимальнофазовой функции цепи

Задав функцию можно получить следующую процедуру построения функции

Процедура построения 3.3.

где соответственно числитель и знаменатель функции Из соотношения (3.67) очевидно, что

2. Разложить на множители Приписать множители, определяемые нулями левой половины s-плоскости, полиному

3. Разложить на множители Приписать множители, определяемые полюсами левой половины s-плоскости, полиному

4. Сформировать минимально-фазовую функцию цепи

где получены соответственно на этапах 2 и 3. Пример 3.6. Задана функция

Найти минимально-фазовую функцию цепи

Решение. Следуя этапам, указанным в процедуре построения 3.3, получаем

Заметим, что, как устанавливает преобразование Гильберта, если заданы нечетная или четная часть функции можно найти функцию при условии, что она является аналитической в правой половине s-плоскости [все полюсы функции находятся в замкнутой левой половине s-плоскости, а полюсы на мнимой оси являются простыми]. Если, однако, заданы или модуль, или фаза функции то можно построить единственную функцию только для минимально-фазовой функции [все нули и полюсы функции должны встречаться в замкнутой левой половине s-плоскости, а полюсы и нули на мнимой оси являются простыми].

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)