11.3.1. Теорема дискретизации

Основные проблемы цифровой фильтрации связаны с дискретизацией непрерывного сигнала для получения его цифрового аналога, а также с вопросами его восстановления из цифрового сигнала. В этом подразделе эти задачи рассматриваются с помощью преобразований Фурье непрерывного и цифрового сигналов.

Для непрерывного сигнала , который имеет представление Фурье вида

соотношение

называется преобразованием Фурье сигнала Если последовательность определяется как

где Т — интервал дискретизации, то

называется частотой дискретизации. Преобразование Фурье последовательности описывается соотношением (11.89) следующим образом:

Поскольку является периодической функцией переменной 0 с периодом , то уравнение (11.108 а) представляет собой разложение в ряд Фурье где - коэффициенты Фурье. Представление последовательности через функцию имеет вид

Поскольку последовательность получается при дискретизации непрерывного сигнала согласно соотношению (11.107), можно найти связь между -преобразованием Фурье сигнала к — преобразованием Фурье последовательности . Подставляя в соотношение (11.107а) уравнение (11.106 а) и при условии, что получаем

При замене переменной интегрирования

и учитывая, что

можно переписать выражение (11.109) следующим образом:

где искусственная переменная со заменена на другую перемен-ную интегрирования со. Следующая замена переменной

позволяет записать уравнение (11.112) в виде

Из сравнения уравнений (11.1086) и (11.114) следует, что

Заметим, что представляет собой аналог Но сдвинутый по частоте. Например, на рис. 11.8, а, б показаны соответственно при условии, — положительное вещественное число. Следовательно, соотношение (11.116) устанавливает, что частотная характеристика дискретизированной последовательности представляет собой взвешенную сумму бесконечного числа частотно-сдвинутых аналогов частотной характеристики соответствующего непрерывного сигнала В случае частотно-ограниченного непрерывного сигнала с полосой т. е.

как показано на рис. 11.9, а, уравнения (11.115) дают различные возможные функции приведенные на рис. 11.9, б-г для случаев, когда интервал дискретизации Т больше, меньше либо равен При

(кликните для просмотра скана)

выражение (11.115) приводится к виду

Таким образом, частотные характеристики непрерывного сигнала и его дискретизированной последовательности идентичны по форме и отличаются только масштабным множителем для Этот факт также изображен на рис. 11.9.

Поскольку из уравнения (11.118) следует, что частотные характеристики непрерывного сигнала и соответствующей дискретизированной последовательности идентичны вплоть до масштабного множителя, то разумно предположить, что, задавая последовательность и интервал дискретизации Т, можно восстановить непрерывный частотно-ограниченный сигнал такой, что где полоса, занимаемая восстановленным сигналом Другими словами, при выполнении условий (11.116) и (11.117) возможно восстановление непрерывного сигнала из его дискретизированной последовательности Для иллюстрации этого подставим (11.116) в уравнение (11.106 а)

Замена переменной позволяет записать соотношение (11.119) в виде

Подстановка (11.118) в уравнение (11.120) дает

Из рис. 11.9 следует, что если интервал дискретизации удовлетворяет условию Найквиста (11.117), то

Исходя из условия (11.122) можно переписать уравнение (11.121) в виде

Подставляя в соотношение (11.123) уравнение (11.108 а), получаем

Уравнения (11.124) представляют собой интерполяционную формулу для восстановления непрерывного сигнала из занепрерывного сигнала из дискретизированной последовательности.

Рис. 11.10. Интерполирующий фильтр для формирования

Данной дискретизированной последовательности . В частотной области уравнения (11.124) по существу устанавливают, что частотные характеристики непрерывного сигнала можно получить, пропуская дискретизированную последовательность через Идеальный фильтр нижних частот с частотой среза как показано на рис. 11.10. Например, если пропустить дискретизированную

последовательность с характеристиками, приведенными на рис. 11.9, в,г, через идеальный фильтр, показанный на рис. 11.10, то непрерывный выходной сигнал задается характеристикой на рис. 11.9, а. Заметим, что уравнения (11.124) получены при условии, что непрерывный сигнал является частотно-ограниченным, согласно условию (11.116), а скорость дискретизации удовлетворяет критерию Найквиста (11.117).

Если критерий Найквиста (11.117) не выполняется (скорость дискретизации недостаточно высока), то отсутствует линейное соотношение между частотными характеристиками соответственно непрерывного сигнала и дискретизированной последовательности как показано на рис. 11.9, а, б. В этом случае часть высокочастотной информации в сдвигается в область более низких частот что иллюстрируется на рис. 11.9, б штриховыми линиями. Этот сдвиг информации называется наложением или эффектом отражения. В этом случае нельзя восстановить непрерывный сигнал из соответствующей дискретизированной последовательности