4.1. Полином Гурвица

В общем случае проверить, что для ПВ-функции удовлетворяется условие 2, очень трудно. Поэтому желательно найти иные, но эквивалентные условия положительности и вещественности функции. Один из способов для этого дает концепция полиномов Гурвица (основного и модифицированного).

Говорят, что полином есть полином Гурвица, если все его корни лежат в левой полуплоскости s (исключая мнимую ось). Далее, полином называется модифицированным полиномом Гурвица, если ни один из его корней не лежит в правой полуплоскости а все корни, лежащие на мнимой оси, простые (с кратностью ).

Основываясь на определениях, введенных в предыдущем абзаце, нам необходимо найти распределение всех корней полинома прежде чем мы сможем сказать, является ли полином полиномом Гурвица или модифицированным полиномом Гурвица. Известно, что определение всех корней полинома — задача непростая. Следовательно, непосредственно пользоваться определениями полинома Гурвица или модифицированного полинома Гурвица нежелательно. В этом разделе мы опишем методы, пользуясь которыми можно определить, является ли данный полином полиномом Гурвица или модифицированным полиномом Гурвица, не находя его корней.

Пусть — рассматриваемый полином. Предположим сперва, что мы не знаем, четна или нечетна степень Чтобы убедиться, является ли такой полином полиномом Гурвица, воспользуемся критерием Гурвица, согласно которому к членам нечетных и четных степеней прилагается (с некоторыми незначительными изменениями) алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего множителя. Конкретно, прежде всего разобьем на две группы членов — с четными и нечетными степенями, соответственно естественно, Образуем из контрольное

отношение , в котором у числителя степень больше, чем у знаменателя. Пусть полином степени Тогда

если нечетная, и

если четная.

Далее, произведем разложение в непрерывную дробь отношения исключая каждый раз один полюс с помощью слагаемого

где слагаемое, — соответствующий коэффициент.

Если имеется одно или несколько слагаемых с отрицательными коэффициентами, значит, не является ни полиномом Гурвица, ни модифицированным полиномом Гурвица. С другой стороны, если имеется слагаемых и каждое из них имеет положительный коэффициент, то есть полином Гурвица. Наконец, если число слагаемых но у всех слагаемых коэффициенты положительные, это означает, что есть общий сомножитель Следовательно, можно записать

где .

Поскольку является общим сомножителем для двух полиномов (нечетной и четной степени), он сам должен быть либо полиномом нечетной степени, либо полиномом четной степени. Рассмотрим сперва случай, когда — полином четной степени. Тогда можно записать

При этом подразумевается, что корни будут симметричны относительно начала координат: есть корень тогда и только тогда, когда есть корень Заметим, что если — не чисто мнимое число, будет содержать корень в правой полуплоскости s (поскольку если лежит в левой полуплоскости, то — в правой, и обратно). Следовательно,

в крайнем случае есть модифицированный полином Гурвица. Это будет справедливо только в том случае, если все корни (простые и чисто мнимые) лежат на мнимой оси плоскости Следовательно, не может быть полиномом Гурвица.

Предположим теперь, что — полином нечетной степени. Поскольку такой полином может быть записан как произведение s на полином четной степени, есть в крайнем случае модифицированный полином Гурвица. Следовательно, опять не может быть полиномом Гурвица.

Поскольку все слагаемых имеют положительные коэффициенты, полином в (4.10) есть полином Гурвица. Таким образом, если есть модифицированный полином Гурвица (т. е. если все корни простые и чисто мнимые), то есть модифицированный полином Гурвица.

Ниже процедура определения, является ли модифицированным полиномом Гурвица, описывается для случая, когда заведомо известно, четна или нечетна степень

Предположим теперь, что — полином четной или нечетной степени . В этом случае — модифицированный полином Гурвица тогда и только тогда, когда имеет только простые корни, лежащие на мнимой оси (включая начало координат).

Чтобы определить, является ли модифицированным полиномом Гурвица, образуем контрольное отношение в виде

и осуществим разложение в непрерывную дробь, как в (4.9). Тогда -модифицированный полином Гурвица тогда и только тогда, когда в разложении имеется слагаемых и каждое из них имеет положительный коэффициент.

Последующие примеры иллюстрируют эти процедуры проверки.

Пример 4.1. Определить, является ли полиномом Гурвица выражение

Решение,

Поскольку четное, контрольное отношение

Очевидно, при имеет полюс в бесконечно, Выделяя этот полюс как слагаемое, получим

где — первое слагаемое, 1/3 — коэффициент, — остаток. Следовательно,

Заметим, что . Таким образом, мы можем выделить из полюс в виде слагаемого, как мы это делали для . В результате запишется как

где — второе слагаемое, 9/10 — его коэффициент, а -второй остаток. Подставляя (4.17) в (4 11), имеем

Очевидно, Удалив из полюс в бесконечности, получаем

где — третье слагаемое, 25/24 — его коэффициент, а

— третий остаток. Подставляя (4.20) и (4.21) в (4.18), получаем разложение при в виде

Поскольку всего имеется четыре слагаемых и их коэффициенты положительные (1/3, 9/10, 25/24 и 8/5), есть полином Гурвица.

Предыдущий пример обрисовывает поэтапную процедуру разложения контрольного отношения в непрерывную дробь. Этот процесс позволяет показать, что фактически дает такое разложение, но его выполнение — громоздкое дело. По счастью, разложение рациональной функции в непрерывную дробь можно выполнить и более простыми средствами — методом

последовательных делений. В качестве примера покажем разложение в непрерывную дробь из (4.12) при

Здесь величины, обведенные кружками, — слагаемые. Имея эти слагаемые, можно сравнительно просто образовать (4.22). Фактически мы можем определить, является ли наш полином полиномом Гурвица, просто проверив коэффициенты этих ела гаемых.

Пример 4.2. Определить, является ли полином

полиномом Гурвица или модифицированным полиномом Гурвица.

Решение. Поскольку не содержит одни лишь члены четных или нечетных степеней, запишем его в виде и образуем контрольное отношение

Разложение в непрерывную дробь при дает

Это показывает, что имеется общий сомножитель. Найти наибольший общий сомножитель можно тривиальным путем — разложить в непрерывную дробь методом

последовательных делений; — это делитель, который дает нулевой остаток. В нашем случае процесс последовательного деления даст

Следовательно, четной и нечетной частей равен Значит, мы можем переписать в виде .

Поскольку все коэффициенты в (4.25) положительные, полином есть полином Гурвица. Следовательно, если модифицированный полином Гурвица, то и — модифицированный полином Гурвица.

Чтобы проверить, является ли модифицированным полином Гурвица, образуем контрольное отношение

Разложение в непрерывную дробь при дает

Поскольку - полином второй степени и имеет два слагаемых, причем у обоих коэффициенты положительные, есть модифицированный полином Гурвица. Следовательно, и в (4.23) есть модифицированный полином Гурвица.

Пример 4.3. Определить, является ли полином

полиномом Гурвица или модифицированным полиномом Гурвица.

Решение. Перепишем в виде

При этом контрольное отношение будет

Отсюда следует, что числителя знаменателя не является постоянной величиной: он равен

Чтобы проверить, является ли модифицированным полиномом Гурвица, образуем контрольное отношение в виде

и разложим его в непрерывную дробь при

Поскольку полином четвертой степени и имеет в (4 32) всего два слагаемых, корни многократные и лежат на мнимой оси. Действительно, суть двукратные корни Следовательно, в (4 28) не является ни полиномом Гурвица, ни модифицированным полиномом Гурвица.

Пример 4.4. Определить, является ли выражение

модифицированным полиномом Гурвица.

Решение. Поскольку содержит только члены нечетных степеней, контрольное отношение равно

Частичное разложение в непрерывную дробь при дает

Поскольку третье слагаемое имеет отрицательный коэффициент, можно Прервать процесс разложения и заключить, что в (4.33) не является модифицированным полиномом Гурвица. Действительно, имеет два корня в правой полуплоскости

Пример 4 5. Определить, является ли выражение

модифицированным полиномом Гурвица

Решение. В соответствии с (4.12) контрольное отношение равно

Разложение в непрерывную дробь при дает

Поскольку имеется шесть слагаемых, все с положительными коэффициентами, есть модифицированный полином Гурвица.

Критерий Гурвица является испытанным орудием для многих технических дисциплин, в особенности при исследовании устойчивости линейных систем. Для него было выведено много необходимых условий, которым должен удовлетворять полином, чтобы имело смысл проверять, является ли он полиномом Гурвица. Два из этих необходимых условий следующие:

1. У полинома не должно быть пропущенных членов. (4.39 а)

2. Все коэффициенты должны быть или положительными или отрицательными. (4.396)

Например, полином не является полиномом Гурвица, так как у него есть пропущенный член — член

второй степени. Полином не является полиномом Гурвица, так как у него имеются как положительные, так и отрицательные коэффициенты.

Следует подчеркнуть, что условия (4.39) необходимые, но недостаточные. Например, полином

удовлетворяет обоим условиям (4.39), но в (4.40) не является полиномом Гурвица, так как имеет пару комплексносопряженных корней в правой полуплоскости Иными словами, если полином не удовлетворяет хотя бы одному из условий (4.39), то он не является полиномом Гурвица. Но если он удовлетворяет обоим этим условиям, это еще не значит, что является полиномом Гурвица. В последнем случае к полиному еще надо приложить критерий Гурвица. Для простых случаев мы знаем еще некоторые достаточные условия, а именно:

1. Полином первого или втопого порядка, не имеющий пропущенных членов и содержащий все коэффициенты только одного знака, есть полином Гурвица. (4.41 а)

2. Произведение полиномов Гурвица есть полином Гурвица. (4.41 б)

Оба эти условия, которые являются достаточными, можно эффективно использовать. Например, если сложный полином можно представить в виде произведения полиномов первого и второго порядков, т. е.

где каждый есть полином первой или второй степени, то проверка по критерию Гурвица сведется к проверке коэффициентов у каждого из сомножителей Если все — полиномы Гурвица, то и полином Гурвица. С другой стороны, если хотя бы один из сомножителей, допустим не является полиномом Гурвица, то и также не является полиномом Гурвица.

Пример 4.6. Определить, является ли выражение

полиномом Гурвица.

Решение. Ясно, что (4 43) удовлетворяет условиям (4 39). Можно сразу же приложить к критерий Гурвица или же воспользоваться достаточными условиями (4.41), разложив (4.41) на множители:

Из первого достаточного условия следует, что все три сомножителя в (4 44) являются полиномами Гурвица, а из второго достаточного условия заключаем, что есть полином Гурвица.

Отметим, что произведение одного полинома Гурвица и модифицированных полиномов Гурвица не обязательно является модифицированным полиномом Гурвица. Рассмотрим для примера произведение полинома Гурвица и двух модифицированных полиномов Гурвица

Поскольку имеет сопряженные корни при не является модифицированным полиномом Гурвица. Однако произведение полиномов Гурвица и одного модифицированного полинома Гурвица всегда является модифицированным полиномом Гурвица.

В заключение сформулируем один результат, который пригодится нам впоследствии.

Теорема 4.4. Пусть — полином Гурвица, у которого — части, содержащие соответственно члены только четных и только нечетных степеней. Тогда рациональные функции

можно реализовать как входные функции полного сопротивления или полной проводимости для двухполюсников, содержащих только индуктивности и емкости.

Обратно, сумма числителя и знаменателя у входной функции идеального (без потерь) двухполюсника есть полином Гурвица.