12.1.3. Метод билинейного преобразования

Как было показано, эффект наложения в методе инвариантности импульсной характеристики вызывается тем, что отсутствует однозначная функция перехода из s-плоскости в -плоскость. Для исключения этого нежелательного эффекта наложения необходимо определить однозначное непрерывное отображение из s-плоскости в z-плоскость. Одним из таких преобразований является билинейное преобразование, которое определяется следующим образом:

С помощью некоторых алгебраических преобразований можно найти обратное соотношение

Теперь исследуем свойства процедуры перехода на основе билинейного преобразования на соответствие двум условиям (12.10). Сначала рассмотрим мнимую ось s-плоскости. При уравнение (12.74) дает

Из соотношения (12.75 а) следует, что мнимая ось s-плоскости отображается в единичную окружность (где ) в -плоскости. В частности, точка в s-плоскости отображается в соответствующую точку в -плоскости. Как

и в случае, описываемом уравнением (12.236) и показанном на рис. 12.7, фазовый угол изменяется от до при изменении от до Следовательно, можно утверждать, что мнимая ось s-плоскости отображается в единичную окружность в -плоскости (рис. 12.14).

Рис. 12.14. Свойства процедуры перехода на основе билинейного преобразования.

Другими словами, при билинейном -преобразовании (12.73) условие 1 (12.10 а) удовлетворяется. Для проверки условия 2 (12.106) допустим, что

Тогда уравнение (12.74) дает

Если то знаменатель уравнения (12.77) всегда больше его числителя. Можно сделать вывод, что

всякий раз, когда Следовательно, условие 2 (12.10 б) также удовлетворяется (рис. 12.14). Кроме того, можно показать, что билинейное преобразование -однозначная функция. Это означает, что каждой точке в z-плоскости соответствует точно одна точка в s-плоскости и наоборот. Из этого свойства однозначности следует, что отсутствует эффект наложения спектров при билинейной процедуре отображения. Методика расчета цифровых фильтров на основе метода билинейного преобразования включает в себя, нахождение подходящей передаточной функции аналогового фильтра

и применение к ней билинейного преобразования (12 73) и (12.74) для получения передаточной функции требуемого цифрового фильтра

где Т — интервал дискретизации. При этом преобразовании будут сохраняться и частотные характеристики, и свойства устойчивости аналогового фильтра. Однако это не означает, что частотные характеристики аналогового и цифрового фильтров идентичны, одинакова только их «форма». Например, если амплитудно-частотная характеристика аналогового фильтра монотонно спадает для , то соответствующий цифровой фильтр, полученный с помощью соотношения (12.79), будет обладать монотонно спадающей амплитудно-частотной характеристикой от 0 до я; или если амплитудно-частотная характеристика аналогового фильтра имеет подъемов и спадов для то и амплитудно-частотная характеристика соответствующего цифрового фильтра будет обладать подъемами и спадами.

Пример 12.7. Аналоговый фильтр характеризуется передаточной функцией вида

Найти передаточную функцию соответствующего цифрового фильтра на основе метода билинейного преобразования. 0 Решение. Из уравнения (12 79) передаточная функция требуемого цифрового фильтра определяется следующим образом:

На рис. 12.15 показаны амплитудно-частотные характеристики аналогового фильтра, заданного соотношением (12.80) при и соответствующего цифрового фильтра (12.81) при с. Покажем, что кривые на рис. 12.15 обладают одинаковой «формой». Если представить, что кривая как функция переменной 0 вычерчена в неравномерном 0 масштабе (если масштаб для 0 сжат при и растянут при то кривая на рис. 12.15, б будет выглядеть более схожей с кривой на рис. 12.15, а. Это происходит вследствие того, что соотношение между цифровой частотной

Рис. 12 15 Амплитудно-частотные характеристики аналогового фильтра и соответствующего ему цифрового фильтра, полученного по методу билинейного преобразования.

переменной и аналоговой частотной переменной нелинейно, как следует из уравнения (12.756). Для полного исследования этого нелинейного соотношения между 0 и необходимо найти выражение для через 0. Теоретически можно инвертировать уравнение (12.756) для получения такого выражения. С другой стороны, можно положить и найти отображение такой z-точки в s-плоскости. Используя последний из соотношения (12.73) получаем

Рис. 12 16. Соотношение между частотами а — график; б - таблица соответствия.

Сравнение вещественной и мнимой частей обеих половин уравнения (12.82) дает

Заметим, что соотношения (12.756) и (12.836) между цифровой частотной переменной 0 и аналоговой частотной переменной и взаимообратны. Эти соотношения начерчены на рис. 12.16.

Из рис. 12.16 следует, что для растягивания и сжатия кривой вдоль оси можно использовать интервал дискретизации Т. Однако при заданном интервале дискретизации Т кривая как функция будет фиксированной. Если имеются частотные характеристики [амплитудно-частотная характеристика и (или) фазовая характеристика аналогового фильтра, то соотношение (12.836) можно использовать

Рис. 12.17. Процедура построения частотных характеристик цифровою фильтра при билинейном преобразовании.

для получения частотной характеристики соответствующего цифрового фильтра следующим образом:

Уравнение (12.84) устанавливает, что, задав частотные характеристики аналогового фильтра, можно графически построить частотные характеристики цифрового фильтра на основе счетверенной диаграммы, показанной на рис. 12.17, где стрелками показано направление линий построения. Характерно, что при построении точка на аналоговой характеристике отображается в двух направлениях, где может быть пли амплитудой или фазовым углом — в точке Сначала значение абсциссы отражается вниз на кривую для получения соответствующего значения которое в свою очередь отражается от линии в 45° для получения уже абсциссы на чертеже цифровой характеристики. Затем значение ординаты отражается горизонтально для получения

Рис. 12.18. Диаграммы построения для примера 12.8.

ординаты на чертеже цифровой характеристики, где в зависимости от типа функции полученная величина может быть или значением амплитуды или фазы -

Задав ряд точек можно соединить полученные точки вместе и таким образом построить графики цифровых частотных характеристик. Следует отметить, что этот метод обеспечивает цифровые частотные характеристики для . Исходя из свойств симметрии (амплитудно-частотные характеристики — четные, а фазовые — нечетные) и периодичности цифровых частотных характеристик, можно построить частотные характеристики и для всех значений частоты 0.

Пример 12.8. Построить график амплитудно-частотной характеристики цифрового фильтра на основе билинейного преобразования, если задан график амплитудно-частотной характеристики соответствующего аналогового фильтра (рис. 12.18,а)

Решение. Используя методику построения на рис. 12.17 и предполагая, что , можно получить график амплитудно-частотной характеристики в зависимости от частоты 0 (рис. 12.18, г).

Из примера 12.7 следует, что при билинейном преобразовании местоположение полюса цифрового фильтра

определяется из расположения полюса аналогового фильтра . Кроме того, исходя из уравнения (12.81) в примере 12.7, можно установить, что если передаточная функция аналогового фильтра задается в виде простых дробей

то соответствующий цифровой фильтр, полученный на основе билинейного преобразования, будет обладать передаточной функцией вида

Пример 12.9. Исходный аналоговый фильтр обладает передаточной функцией, заданной следующим соотношением:

Найти передаточную функцию соответствующего цифрового фильтра на основе метода билинейного преобразования.

Решение. Записывая функцию заданную выражением (12.88), в виде простых дробей, получаем

Из уравнения (12 87) требуемая цифровая передаточная функция определяется следующим образом:

Следует отметить, что в примере 12.9 число конечных нулей аналогового фильтра отличается от числа нулей соответствующего цифрового фильтра. Это в общем случается при билинейном преобразовании.

Пример 12.10. Предположим, что цифровой фильтр должен удовлетворять следующим условиям:

а) Частота среза по уровню 3 дБ составляет рад.

б) Неравномерность амплитудно-частотной характеристики в полосе пропускания не более 0,1 дБ для

в) Затухание в полосе задерживания не менее 30 дБ для

г) Требуется монотонно спадающая амплитудно-частотная характеристика.

д) Интервал дискретизации

Найти передаточную функцию требуемого цифрового фильтра.

Решение. На первом этапе необходимо перевести эти цифровые критерии в аналоговый эквивалент. Предъявленным требованиям удовлетворяет фильтр Баттерворта с параметрами: а Частота среза

б) Неравномерность амплитудно-частотной характеристики находится в пределах 0,1 дБ для

в) Затухание в полосе задерживания не менее 30 дБ для

Как и в случае примера 12.6, передаточная функция требуемого аналогового фильтра задается уравнением (12 67) следующим образом:

где полюсы расположены в точках

Для перевода функции заданной выражением (12.91), к виду уравнения (12.86) продолжим разложение функции на простые дроби, что дает

Из уравнения (12.87) передаточная функция требуемого цифрового фильтра, который удовлетворяет условиям а) задается в виде

Комбинируя комплексно-сопряженные пары в уравнении (12 93 а), получаем

Билинейное преобразование обеспечивает простую процедуру перехода от аналоговых к цифровым фильтрам и сохраняет вид частотных характеристик при преобразовании. Это означает, что широкополосные аналоговые фильтры с крутой переходной областью отображаются в широкополосные цифровые фильтры без эффекта наложения. В этом заключается основное преимущество этого метода по сравнению с методом инвариантности импульсной характеристики. Недостатком билинейного преобразования является то, что нелинейность соотношения между цифровой частотой 0 и аналоговой частотой приводит к искажению частотных характеристик аналоговых фильтров. Кроме того, при этом преобразовании не сохраняется импульсная характеристика.