4.2. Положительные вещественные функции

Напомним, что ПВ-функция удовлетворяет двум условиям: она вещественна, когда веществен параметр s (это означает, что коэффициенты полиномов, стоящих в числителе и знаменателе должны быть вещественны) и положительна, когда вещественная часть . В общем случае условие положительности проверить трудно. Ниже мы установим некоторые иные, но эквивалентные условия.

Теорема 4.5. есть ПВ-функция тогда и только тогда, когда она удовлетворяет следующим условиям:

1. F(s) вещественна, когда веществен

2. есть полином Гурвица или модифицированный полином Гурвица.

3. Полюсы лежащие на мнимой оси, простые и имеют вещественные и положительные вычеты. для всех . (4.47) Заметим, что вычет функции при простом полюсе обозначаемый , определяется следующим образом:

здесь — соответственно полиномы, стоящие в числителе и знаменателе Из (4.48) видно, что вычет при вещественном полюсе есть вещественная величина и что вычеты при паре комплексно-сопряженных полюсов суть комплексно-сопряженные величины.

Чтобы показать, как можно воспользоваться соотношениями (4.48), рассмотрим рациональную функцию

В данном случае имеет три простых полюса: Как показывает (4.48), вычет при можно вычислить двумя способами:

или

Вычеты при полюсах даются следующими выражениями:

Условия 2—4 теоремы 4.5 образуют семейство критериев положительности т. е.

В отличие от (4.51) условие 4 теоремы 4.5 требует проверки только вдоль мнимой оси. Это, как правило, выполняется «в лоб» или прямыми вычислениями. В более сложных случаях для проверки, выполняется ли условие 4 теоремы 4.5, можно использовать метод Штурма [8].

Учитывая следствие 4.3 (о том, что обратная величина ПВ-функции также является ПВ-функцией) и условия, установленные теоремой 4.5, укажем некоторые необходимые условия того, что является ПВ-функцией:

1. Разность степеней полиномов не превышает единицы.

(Причина в том, что полюсы ПВ-функции, лежащие на мнимой оси, должны быть простыми, а полюсы в начале координат и бесконечности рассматриваются как полюсы, лежащие на мнимой оси. Следовательно, полюсы в начале координат и бесконечности должны быть простыми.)

2. Разность между низшими степенями полиномов не превышает единицы.

(Причина та же, что в условии 1.)

3. Все коэффициенты неотрицательные.

(Это необходимо для гарантии, что являются по меньшей мере модифицированными полиномами Гурвица.)

4. На мнимой оси нет кратных полюсов или нулей. В правой полуплоскости s нет никаких полюсов или нулей.

Пример 4.7.

1. не является ПВ-функцией, так как разность между высшими степенями превышает единицу.

2. не является ПВ-функцией, так как разность между низшими степенями превышает единицу.

3. не является ПВ-функцией, так как содержит отрицательный коэффициент

4. не является ПВ-функцией, так как содержит отрицательный коэффициент.

5. не является ПВ-функцией, так как имеет нуль в правой полуплоскости s.

6. не является ПВ-функцией, так как имеет полюс в правой полуплоскости

7. не являются ПВ-функциями, так как имеют кратные полюсы на мнимой осн.

8. не является ПВ-функцией, так как имеет нули на мнимой оси

Условия (4.52) являются необходимыми, но недостаточными. Они служат для того, чтобы сразу отбросить функции, которые заведомо не являются положительными вещественными. Чтобы убедиться, что рациональная функция является положительной вещественной, необходимо приложить к ней теорему 4.5 или ее эквиваленты.

Пример 4.8. Определить, является ли рациональная функция

положительной вещественной

Решение. Легко показать, что соответствует всем необходимым условиям (4.52). Это означает, что возможно, является ПВ-функцией. Приложим теперь к ней теорему 4.5.

вещественна, когда s веществен.

2. Знаменатель функции является модифицированным полиномом Гурвица, имеющим полюсы на мнимой оси, при Оба полюса простые.

3. Пусть — вычет при полюсе s Тогда

вещественные и положительные.

Поскольку удовлетворяет всем четырем условиям теоремы она является ПВ-функцией.

Пример 4.9. Определить, является ли ПВ-функцией функция

Решение. Следуем тем же путем, что в примере 4.8.

удовлетворяет всем условиям (4 52), так что, возможно, она является ПВ-функцией.

1. Все коэффициенты вещественные; следовательно, вещественна, когда s веществен.

2. Знаменатель является полиномом Гурвица. В этом можно убедиться, приложив к критерий Гурвица. Следовательно, все полюсы [корни лежат в левой полуплоскости

3. Полюсы, лежащие на мнимой оси, отсутствуют.

4. Из гл. 3 известно, что -четная часть Следовательно, согласно (3.34),

где четные части соответственно нечетные части соответственно Поскольку

всех со, заключаем что для всех со тогда и только тогда, когда

В данном частном случае имеем

Следовательно, (4 56) становится

Из (4 56) заключаем, что для всех со

Следовательно, все четыре условия теоремы 4.5 удовлетворяются. Это означает, что является ПВ-функцией.

Как показывают примеры 4.8 и 4.9, проверка на положительность и вещественность сравнительно легко осуществляется для простых рациональных функций, как из (4.53), но занимает много времени для более сложных функций, таких, как из (4.54). Если можно разложить сложную рациональную функцию в сумму более простых функций, то можно с успехом воспользоваться следующим фактом:

Приведем теперь еще несколько эквивалентных условий проверки ПВ-функций.

Теорема является ПВ-функцией тогда и только тогда, когда

вещественна, когда s веществен.

есть полином Гурвица.

Заметим, что во многих случаях проверить выполнение условий теоремы 4.6 проще, чем теоремы 4.5.

Теорема есть ПВ-функция тогда и только тогда, когда:

вещественна, когда s веществен.

повсюду, где

Теорема 4.8. Пусть и

Тогда есть ПВ-функция тогда и только тогда, когда:

вещественна, когда s веществен.

повсюду, где .

Теорема 4.9. Пусть определена выражением (4.58). Тогда есть ПВ-функция тогда и только тогда, когда:

вещественна, когда s веществен.

есть полином Гурвица.