13.1.1.2. Лестничные формы.

Предположим, что передаточная функция требуемого цифрового БИХ-фильтра имеет вид

Тогда функция должна допускать различные эквивалентные представления в форме разложений в непрерывную дробь. Позже в этом разделе будет показано, что реализации этих разложений в непрерывную дробь функции дают лестничные конфигурации цепей. Теперь рассмотрим некоторые характерные ситуации.

Случай 1. Предположим, что функция [уравнение (13.6)] допускает разложение в непрерывную дробь при пли

или

Исследуя совместно уравнения (13.7) и (13.8), можно заключить, что реализации непрерывных дробей (13.7) и (13.8) можно легко осуществить, если имеется возможность реализовать два функциональных узла, которые характеризуются следующими передаточными функциями:

где произвольно. Вследствие этого непрерывные дроби (13.7) и (13.8) могут быть повторно записаны в том же виде, что и уравнения (13.9) и (13.10). На рис. 13.5, а и приведен набор цифровых схем, реализующих соответственно функции заданные уравнениями (13 9) и (13.10) соответственно.

Используя рис. 13.5, на котором приведены основные функциональные узлы цифровых схем, можно теперь перейти к реализациям уравнений (13.7) и (13.8).

Рис. 13.5, Два основных функциональных узла для лестничных реализаций.

Для определенности сначала рассмотрим случай, заданный уравнением (13.7). Записывая функцию в виде

Можно реализовать функцию путем суммирования двух Передаточных функций как показано на рис. 13.6, а. Для того чтобы реализовать функцию запишем ее

в виде

С помощью рис. 13.5, б можно выполнить уравнение (13.12) в виде цепи, показанной на рис. 13.6, б. Следует отметить, что передаточная функция [уравнение (13.126)] имеет ту же форму, что и функция [уравнение (13.11 а)], только сложнее. Следовательно, можно использовать повторно процедуры (13.11) и (13.12) до тех пор, пока не реализуется функция Реализация функции на основе этих чередующихся процедур (13.11) и (13.12) показана на рис. 13.6, в.

Рис. 13.6. Лестничная схема реализации функции заданной уравнением (13.7). а и б — этапы, в — окончательная схема.

Рис. 13.7. Лестничная схема реализации функции заданной уравнением (13 8) а и б - этапы, в — окончательная схема.

Подобным образом реализуется передаточная функция заданная соотношением (13.8), т. е. многократным использованием рис. 13.5, а. Соответствующие этапы и окончательная схемная реализация показаны на рис. 13.7, где

Следует отметить, что на рис. 13.7, в имеются контуры без элементов задержки. В разд. 11.5 было установлено, что контуры без элементов задержки недопустимы в схемах цифровых фильтров. В подразд. 13.1.1.3 показан метод исключения контуров без задержки и без изменения имеющихся передаточных функций. Заметим, что если (разложение в непрерывную

дробь завершается при то этот процесс будет давать эффективные схемные реализации.

Пример 13.2. Реализовать с помощью лестничной схемы следующую передаточную функцию:

Решение. На основе процесса последовательного деления 0

находим, что разложение функции (13.14) в непрерывную дробь имеет вид

Реализация передаточной функции (13 14) в виде цифровой лестничной схемы на основе уравнения (13.15) и рис. 13.6 приведена на рис. 13.8.

Пример 13.3. Реализовать с помощью лестничной схемы следующую передаточную функцию:

Решение. Разложение функции [уравнение (13.16)] в непрерывную дробь дает

Рис. 13.8. Лестничная схема реализации уравнения (13.14).

Реализация уравнения (13.16) на основе соотношения (13.17) и рис. 13.7 показана на рис. 13.9.

Случай 2. Предположим, что заданная соотношением (13.6) функция допускает разложение в непрерывную дробь при или

или

Для того чтобы выполнить уравнения (13.18) или (13.19), необходимы функциональные узлы, которые реализуют следующие две функции:

На рис. 13.10 приведен набор реализаций функций

Рис. 13.9. Лестничная схема реализации уравнения (13.16)

Рис. 13.10. Два основных функциональных узла для лестничных реализаций.

Для реализации передаточной функции (13.18) запишем функцию в виде

Рис. 13.11. Лестничная схема реализации функции заданной уравнением (13 18). а, б и в — этапы; г - окончательная схема.

С помощью рис. 13.10, а получаем, что уравнения (13.22) и (13.23) реализуются в виде, показанном на рис. 13.11, а и б. Отметим, что функцию на рис. 13.11, б можно записать следующим образом:

Рис. 13.12. Лестничная схема реализации функции заданной уравнением (13.19). а и б - этапы, в — окончательная схема,

На рис. 13.11, а иллюстрируется этап реализации функции (13.24) с помощью схемы рис. 13.10, б. Отметим, что функция подобна функции только сложнее. Чередуя процессы (13.23) и (13.24), можно реализовать функцию как показано на рис. 13.11, г.

Аналогичным образом, используя поочередно рис. 13.10, а и б, получаем схемную реализацию функции заданную Уравнением (13.19), которая иллюстрируется рис. 13.12, где

Пример 13.4. Реализовать на основе лестничной схемы на рис. 13.11 следующую передаточную функцию:

Решение. Умножая числитель и знаменатель функции [уравнение (13.26)] на получаем

Рис. 13.13. Лестничная схема реализации уравнения (13.26).

Разложение функции в непрерывную дробь при (или, что эквивалентно, дает

Схема лестничной реализации уравнения (13 26) на основе соотношения (13.27) показана на рис. 13.13.

Пример 13.5. Реализовать на основе лестничной структуры, показанной на рис. 13.12, передаточную функцию

Решение. Если переписать функцию заданную уравнением (13.28), следующим образом: то разложение функции в непрерывную дробь при дает

Рис. 13.14. Лестничная схема реализации уравнения (13.28).

Реализация уравнения (13.28) на основе соотношения (13.29) приведена на рис. 13.14.

Из примеров 13.2-13.5 следует, что значительным недостатком лестничных реализаций является то, что постоянные умножения в окончательных реализациях цифровых схем получаются после ряда вычислений. Поэтому результирующие структуры могут не реализовывать точно исходную передаточную функцию. Кроме того, отсутствует какой-либо контроль над самой величиной (модулем) постоянных умножения. Например, число 455/4 значительно больше остальных постоянных умножения в схеме, приведенной на рис. 13.14. Это приводит к существенным трудностям при конструировании аппаратурных средств.

Как и в случае пассивных аналоговых лестничных схем, цифровую передаточную функцию можно реализовать комбинированием процедур цифровой лестничной реализации различных видов. Очень часто этот процесс будет давать более приемлемые постоянные умножения. Подходящий случай приведен в примере 13.6.

Пример 13.6. Реализовать передаточную функцию заданную выражением (13 28) из примера 13.5, раскладывая функцию сначала при а затем при

Рис. 13.15. Лестничная реализация уравнения (13.28).

Решение. Разложение функции при до тех пор, пока не будет извлечен первый элемент задержки, означает, что функция записывается в виде

где оставшаяся дробь

раскладывается при следующим образом:

Схемная реализация уравнения (13.28), основанная на разложении функции которое определяется соотношениями (13.30) и (13.31), приведена на рис. 13.15.

Перед тем как завершить подраздел о реализациях на основе лестничных форм, обратим внимание на то, что транспонирование цифровой лестничной схемы представляет собой саму исходную лестничную схему. Другими словами, они являются схемами, транспонированными сами себе.