10.1.3. Прямая реализация с RC-двухполюсниками

В этом разделе рассматриваются методы прямой реализации функции (10.1) с помощью активных элементов и RС-двухполюсников. Все они основаны на свойстве разложения теоремы 10.1, которая называется -разложением.

Теорема 10.1. Предположим, что рациональная функция имеет отрицательные вещественные полюсы. Обозначим через степени полиномов соответственно . Далее функцию можно выразить как

где являются входными функциями RC полного сопротивления (проводимости), реализуемыми пассивными RС-элементами.

Разложение теоремы 10.1 обеспечивается разложением на простые дроби функции Члены ее разложения с положительными коэффициентами присваиваются для или а остальные — для или

Пример 10.5. Найти -разложение для функции

Решение. Разложение да простые дроби функции имеет вид

где значение

является вычетом функции в полюсе При получим

Отсюда

Пример 10.6. Для функции

найти RC-RС-разложение.

Решение. Разложение на простые дроби функции дает

Следовательно, имеем

Рассматриваемые в данном случае процедуры реализации являются почти одинаковыми. Каждая из них исходит из схемной конфигурации, содержащей С-двухполюсники, ИНУН и (или) операционные усилители. Передаточная функция самой схемы зависит явно от входных функций полной проводимости RС-двухполюсников. Кроме того, как числитель, так и знаменатель передаточной функции схемы можно выразить через разность двух (групп) С-функций полной проводимости.

Для реализации заданной передаточной функции вида (10.1) запишем

где — произвольно выбранный полином степени обладающий только простыми отрицательными вещественными корнями, а также

Напомним, что тип являются степенями полиномов соответственно числителя и знаменателя функции (10.1) В данном случае значения корней полиномов ограничены только тем, что они должны быть простыми, отрицательными и вещественными. В общем случае эти корни выбираются совпадающими с вещественными корнями полиномов для того чтобы иметь возможность упростить

конечную схемную реализацию. На основании теоремы RC-RC-разложения функцию (10.46) можно выразить следующим образом:

Необходимые входные функции полной проводимости RC-двухполюсников определяются путем сравнения соответствующих членов передаточной функции схемы и требуемой передаточной функции вида (10.48).

Рис. 10.11. Схема реализации по методу Янагисава.

Остается только реализовать эти RC-двухполюсники.

10.1.3.1. Метод Янагисава.

Рассмотрим схему, представленную на рис. 10.11. Здесь для узла А имеем уравнение

которое после некоторых простых преобразований дает передаточную функцию схемы в виде

Приравнивая соответствующие члены выражений (10.50) и получаем следующие значения полных проводимостей Ветвей схемы на рис. 10.11

Заметим, что имеется также другое решение.

В дальнейшем при ссылках на (10.51) будут подразумеваться оба варианта.

Таким образом, реализацией входных RС-функций полных проводимостей согласно (10.51) осуществляется реализация схемой рис. 10.11 общей передаточной функции (10.1).

Пример 10.7. Реализовать методом Янагисава передаточную функцию по напряжению

Решение. Согласно условию (10.47) полином имеет вторую степень. Выберем

Затем получаем

и

После подстановки (10 54) в (10.52) имеем

Таким образом,

В соответствии с выражениями (10.51) входные функции полной проводимости RС-двухполюсников для схемы на рис. 10.11 равны

где установлено Реализация каждой из этих функций проводимости показана на рис 10 12, а Объединением их в схеме рис. 10 12,° обеспечивается реализация заданной передаточной функции (10.52),

Рис. 10.12. Реализация функции (10.52) по методу Янагисава.

10.1.3.2. Метод Матея — Сайферта.

Рассмотрим представленную на рис. 10.13 схемную конфигурацию Матея — Сайферта, где Ее передаточная функция определяется выражением

Рис. 10.13. Схема реализации по методу Матея — Сайферта.

Из аналогии выражений (10.50) и (10.57) можно заключить, что процедура реализации по Матею — Сайферту весьма близка рассмотренному выше методу Янагисава.

Пример 10.8. Реализовать методом Матея — Сайферта передаточную функцию по напряжению

Решение. Выберем полином

Далее имеем

и

Приравнивая соответствующие члены выражений (10.57) и (10.60 в), получим

Схема реализации функции (10 58) по Матею — Сайферту на основе выражений (10 61) при представлена на рис. 10.14.

10.1.3.3. Метод Лаверинга.

Другой метод синтеза, аналогичный процедуре Янагисава, основан на использовании показанной

Рис. 10 14 Реализация функции (10 58) по методу Матея — Сайферта.

Рис. 10 15. Схема реализации по методу Лаверинга.

на рис. 10.15 схемной конфигурации Лаверинга, передаточная функция которой определяется выражением)

Из уравнений (10.62) и (10.57) видно, что передаточная функция в методе Лаверинга имеет тот же вид, что и в случае метода Матея — Сайферта. Следовательно, идентичны и их процедуры реализации, за исключением некоторых простых отличий в условных обозначениях. Метод Лаверинга рассмотрим ниже на примере.

Пример 10.9. Реализовать передаточную функцию (10.58) методом Лаверинга.

Решение. Выбрав тот же самый, что и в примере 10.8, полином получим выражения (10.60). Сравнение выражений (10 60 в) и (10.62) дает

Подстановкой реализаций входных функций проводимостей RС-двухполюсников (10.63) в схему на рис. 10.15 получаем реализованную по методу Лаверинга окончательную схему, представленную на рис. 10.16 для случая, когда выбрано

Рис. 10.16. Реализация функции (10 58) по методу Лаверинга.

Рис. 10.17. Схема реализации по методу Митры.

10.1.3.4. Метод Митры. Рассмотрим схемную конфигураций рис. 10.17, где напряжения в узлах указаны относительно земли.

Для узлов А и В узловые напряжения определяются выражениями

Из (10.64) получим

После подстановки (10.66) в (10.65) получим

Таким образом, передаточная функция схемы рис. 10.17 равна

Обычно для этого метода проводимости различных ветвей выбираются по условию

В этом случае выражение (10.68) можно упростить следующим образом:

Отметим, что выражение (10.70) имеет тот же вид, что и (10.50), (10.57) и (10.62). Следовательно, при небольших изменениях по условию (10.69) рассмотренные выше методы реализации приемлемы и здесь.

Для ясности выделим следующие этапы метода Митры:

0. Задана функция вида (10.1).

1. Выбрать произвольный полином степенн где а корни полинома простые отрицательные вещественные.

2. Разложить рациональные функции числителя и знаменателя следующим образом:

3. Приравнять соответствующие коэффициенты выражений (10.70) и (10.71) по варианту

4. Найти По варианту (10.72а) из (10.69) получим

Аналогично вариант (10.726) дает

Не имеет значения, какой из вариантов (10.72) используется, теорему RC-RС-разложения можно применить к правым частям выражений (10.73) для получения

В результате можно приравнять

Таким образом комплектуется схема на рис. 10.17.

5. Реализовать RC-элементами проводимости после этапов 3 и 4 по методике, изложенной в гл. 6.

6. Наконец, подставить реализованные на этапе 5 соответствующие -двухполюсники в схему рис. 10.17. Полученная в результате схема является реализацией заданной передаточной функцией вида (10.1).

Пример 10.10. Реализовать передаточную функцию (10 58) методом Митры.

Решение. Будем следовать процедуре, рассмотренной в предыдущем разделе

1. Выбираем

2. Получаем

3. По варианту имеем

4. Найти

Заметим, что

Следовательно,

или

Рис. 10.18 Реализация функции (10.58) по методу Митры.

5. и 6. Результирующая схема реализации функции (10.58) показана на рис. 10.18.

10.1.3.5. Выводы.

Все рассмотренные в разд. 10.1.3 четыре метода основаны на одном и том же разложении RC-RC по теореме 10.1. Единственным ограничением для всех методов является требование, чтобы реализуемая передаточная функция была вещественной рациональной функцией от переменной Однако с практической точки зрения здесь имеется существенный недостаток, состоящий в большой чувствительности полюса к изменению параметров активных элементов (ИНУН и операционных усилителей). Это происходит из-за того, что реализация комплексных полюсов общей передаточной функции (10.1) осуществляется в результате вычитания двух рациональных функций согласно выражениям (10.50), (10.57), (10.62) и (10.70). Кроме того, эти четыре метода не подходят для высоко-Добротных схем или узкополосных фильтров.

Другой недостаток, основной для всех активных фильтров, состоит в том, что небольшое изменение параметра активного элемента (например, коэффициентов ИНУН) может подвести Устойчивую схему к границе самовозбуждения. Это особенно характерно для случая, когда -разложение отношения знаменателя дает члены как с положительными, так. и с отрицательными коэффициентами. Поэтому следует, где только возможно, выбирать полином таким образом, чтобы разложение на простые дроби выражения давало только положительные вычеты.