8.3.1. Передаточная функция

Прямой подход к проектированию аппроксимирующего полинома для фильтра нижних частот с максимально плоской характеристикой группового времени состоит в следующем. Предположим, что общий вид передаточной функции такого фильтра — это функция только с одними полюсами

являются четными и нечетными частями знаменателя Следовательно, можно записать в таком виде:

являются соответственно четной и нечетной частями функции . Таким образом,

Путем подстановки выражений (8.118) в выражение (8.113) результирующее выражение может быть упрощено и преобра зовано к следующему виду:

где штрих в качестве верхнего индекса обозначает производную по Используя выражение (8.115), перепишем выражение (8.119) в следующем виде:

Рассмотрим теперь конкретный случай: в выражении тогда выражение (8.120) принимает вид

Предположим, что желательно рассчитать фильтр с единичным групповым временем замедления В этом случае в соответствии с выражением (8.111) требуется, чтобы так как

Следовательно, оптимальная тейлоровская аппроксимация постоянного единичного группового времени замедления достигается путем приравнивания к нулю возможно большего числа производных функции ошибки

чтобы последняя исчезала при Следуя другим путем, можно достичь того же, вынуждая функцию ошибки иметь возможно большее число нулей при Это эквивалентно тому, что приравнять нулю все коэффициенты в полиноме числителя, за исключением коэффициента при члене со старшей степенью Последний подход позволяет получить систему уравнений

Обратите внимание на то, что система (8.124) является системой нелинейных уравнений с двумя неизвестными Решение системы (8.124) дает Таким образом, требуемая передаточная функция имеет вид

Этот метод является оптимальным. Однако, когда порядок фильтра высок, очень трудно получить совокупный набор шений для системы нелинейных уравнений, подобных (8.124), которая неизбежным образом появляется в случае использования этого метода.

Приведенный выше метод решения не отличается стройностью, однако он иллюстрирует коренную процедуру, лежащую в его основе. На практике очень часто не бывает коротких и простых методов, способных заменить весьма громоздкие и требующие значительных затрат времени процедуры. К счастью, в данном случае был открыт весьма простой путь. Установив соответствие между знаменателем передаточной функции, имеющей только одни полюсы, и особым классом полиномов Бесселя, удалось получить фильтр группового времени

с максимально плоской характеристикой. Фильтр такого типа называется фильтром Бесселя. Если говорить точнее, то фильтр нижних частот Бесселя порядка характеризуется передаточной функцией

где представляет собой полином Бесселя степени и Зная полином Бесселя при как

полином Бесселя порядка можно найти с помощью следующей рекуррентной формулы:

Так, например,

Подставляя выражение (8.129) в выражение (8.126), получим передаточную функцию (8.125). На рис. 8.21 приведены фазовые характеристики и характеристики группового времени для фильтров нижних частот Бесселя порядка, от до Следует отметить, что в пределах между рад/с все фильтры Бесселя порядка очень хорошо аппроксимируют линейную фазовую характеристику рис.

Обратите внимание на то, что фильтр Бесселя с передаточной функцией (8 126) даст только единичное групповое время замедления

Если желательно иметь

необходимо выполнить преобразование

где означает знак замены s на на . По существу преобразование (8.132) сводится к изменению горизонтального

Рис. 8.21. Фазочастотные характеристики фильтров Бесселя (а); характера стики группового времени фильтров Бесселя (б).

масштаба фазовых характеристик фильтра Бесселя в раз при сохранении вертикального масштаба неизменным. Следовательно, тангенс угла наклона, равный 1, или

становится равным тангенсу угла наклона

По этой причине мы обозначаем горизонтальную ось рис. 8.21 символом рад помимо ее обозначения Таким образом, передаточная функция фильтра нижних частот с линей

ной фазовой характеристикой и групповым временем замедления то имеет следующий вид:

Такая форма гарантирует, что результирующий фильтр будет иметь функцию передачи НЧ-типа. Степень знаменателя, входящего в выражение (8.135), зависит от требований, предъявляемых к фильтру, и прочих соображений. Чем больше величина тем лучше результирующий фильтр будет аппроксимировать групповое время величиной единиц в пределах широкой полосы частот; это иллюстрирует рис. 8.21,б.

Пример 8.8. Найти передаточную функцию фильтра нижних частот вто рого порядка с максимально плоской характеристикой группового времени и

Решение. Мы решим эту задачу двумя путями. Первый метод опирается на процедуру приравнивания нулю коэффициентов при степенях тогда как второй использует полиномы Бесселя и процедуру изменения масштаба шкалы частот в соответствии с (8.132).

Предположим, что передаточная функция имеет такую форму:

Согласно выражению (8.119), функция групповой задержки определяется следующим выражением:

Введем определение

Следовательно, необходимо положить

Решая систему уравнений (8140), получим

Подставляя выражение (8.141) в выражение (8 137), получим требуемую передаточную функцию в следующем виде:

Другой путь решения этой задачи основывается на использовании выражения (8.135) и приводит к получению такой же передаточной функции