5. Свойства и реализации входных функций

Элемент схемы называют элементом без потерь, если он не потребляет средней мощности. При установившемся состоянии, соответствующем синусоидальному сигналу, средняя мощность, выделяемая схемным элементом, равна

где — соответственно втекающий ток и напряжение на зажимах элемента, а . Поскольку абсолютное значение разности между фазовыми углами напряжения и тока у катушки индуктивности или конденсатора всегда равно 90°, ясно, что катушки индуктивности и конденсаторы являются элементами без потерь. В разд. 5.1 рассматриваются свойства входных функций двухполюсников, содержащих только элементы без потерь. В своей совокупности эти свойства определяют условия реализуемости входной функции на элементах без потерь. В разд. 5.2 рассматриваются некоторые методы синтеза, позволяющие реализовать входные функции двухполюсников без потерь. Показывается, что каждая входная функция двухполюсника без потерь может быть реализована с помощью двухполюсника, содержащего только катушки индуктивности и конденсаторы. Поэтому в дальнейшем мы будем называть входную функцию двухполюсника без потерь входной функцией LC-двухполюсника, а двухполюсник, содержащий только катушки индуктивности и конденсаторы, — LC-двухполюсником.

5.1. Свойства входных функций

Имеется шесть важнейших свойств, связанных с входной функцией двухполюсника без потерь. В своей совокупности эти шесть свойств определяют общую форму входных функций двухполюсников без потерь.

Свойство 1. Все полюсы и нули входной функции, помимо сопротивления или полной проводимости двухполюсника без потерь, лежат на мнимой оси плоскости

Доказательство. Предположим простоты ради, что двухполюсник без потерь содержит только катушки индуктивности и конденсаторы. Доказательство, учитывающее другие элементы без потерь, было бы простым в принципе, но громоздким.

В гл. 4 было показано, что функция сопротивления двухполюсника содержащего только катушки индуктивности и конденсаторы, выражается как

Заметим, что (5.2) получено из (4.5) при условии, что не содержит резисторов. Из (5.2) заключаем, что нули удовлетворяют соотношению

Заметим, что зависят от , которые являются функциями . Следовательно, зависят от Поскольку все решения (5.3а) должны удовлетворять также уравнению

можно заключить из (5.3), что нули лежат на мнимой оси плоскости По принципу дуальности можно показать также, что входная функция полной проводимости двухполюсника определяется уравнением

Следовательно, нули лежат только на мнимой оси плоскости

Поскольку

заключаем, что все полюсы и нули входной функции полного сопротивления или полной проводимости двухполюсника без потерь лежат на мнимой оси плоскости

Свойство 2. Входная функция полного сопротивления или полной проводимости двухполюсника без потерь является нечетной рациональной функцией.

Доказательство. Хорошо известно, что в установившемся состоянии, соответствующем синусоидальному сигналу, средняя мощность, потребляемая двухполюсником без потерь равна

где Z и Y — соответственно входные функции полного сопротивления и полной проводимости Выражение (5.6) означает, что входные функции любого двухполюсника без потерь обладают одним фундаментальным свойством:

где означает входную функцию полного сопротивления или полной проводимости двухполюсника без потерь. Согласно (3.15) из гл. 3, выражение (5.7) подразумевает, что четная часть тождественно равна нулю. Следовательно, — нечетная рациональная функция от . Таким образом,

где — нечетный полином, четный полином.

Свойство 3. Предположим, что входная функция двухполюсника без потерь соответствует (5.8). Пусть, далее, — степени полиномов соответственно. Тогда

Доказательство. Поскольку двухполюсник без потерь является пассивным, есть ПВ-функция. Необходимое условие этого

Поскольку нечетный, четный,

есть нечетное число.

Очевидно, (5.10) и (5.11) совместно подразумевают (5.9). Свойство 4. Все полюсы и нули простые.

Доказательство. Согласно свойству 1, все полюсы и нули лежат на мнимой оси плоскости Поскольку есть ПВ-функция, все ее полюсы и нули, лежащие на мнимой оси, простые. Что и требовалось доказать.

Свойства 1 и 2 означают, что числитель и знаменатель можно разложить на множители вида

исключая, разумеется член присутствующий в числителе или знаменателе. Следовательно, имеет одну из следующих форм:

где — нечетное целое, четное целое. Свойство 3 показывает, что

а свойство 4 требует, чтобы

Здесь мы сперва выводим только в виде (5.12а). в виде (5.126) можно вывести аналогичным образом.

Свойство есть монотонно возрастающая функция со, исключающая точки полюсов

Доказательство. Разделив (5.12а) на s и приняв получим

Разложение (5.15) на простые дроби дает

Заметим, что член присутствует в (5.16) только в том случае, если в (5.12а) Чтобы понять природу постоянных и с»), запишем (5.16) в виде

где означает комплексно-сопряженные а. Поскольку двухполюсники без потерь являются пассивными, есть ПВ-функция. Следовательно, постоянные при полюсе ко при полюсе а также [вычеты при полюсах положительны и вещественны. Таким образом, положительна и вещественна. Объединив (5.16) и (5.17), получаем соотношение между

Каждая — вещественная и положительная постоянная, поэтому также положительная и вещественная постоянная. Следовательно, имеем

где . Дифференцируя (5.16) по получаем

При

Исключая случай, когда — полюс каждый член левой части (5.21) положителен при всех . Поэтому заключаем, что

для всех , исключая полюсы что и требовалось доказать.

Некоторые типичные зависимости от приведены на рис. 5.1, где разрывы имеют место при полюсах Заметим, что является либо нулем, либо полюсом то же относится и к точке Учитывая рис. 5.1 и свойство 5 [монотонное нарастанце ясно, что нули и полюсы

Рис. 5.1. Некоторые типичные зависимости

должны лежать на мнимой оси плоскости чередуясь. Следовательно, имеем

Это — еще одно важное свойство входной функции. Для удобства последующих ссылок выделим его как

Свойство 6. Точки являются критическими частотами Кроме того, полюсы и нули лежат на мнимой оси плоскости s чередуясь.