12.1.5. Расчет цифровых всепропускающих фильтров

Во всех рассмотренных в разд. 12.1 процедурах расчета до сих пор опускалось описание цифровых всепропускающих фильтров. Это сделано частично вследствие того, что всепропускающий фильтр работает совершенно по-иному и частично из-за того, что крайне трудно получить его фазовые характеристики. В этом подразделе будут рассмотрены некоторые основные характеристики всепропускающих фильтров.

Цифровой всепропускающий фильтр представляет собой цифровой БИХ-фильтр с постоянной амплитудно-частотной характеристикой для всех значений цифровой частоты. Необходимым условием представления передаточной функции всепропускающего фильтра является то, что для каждого полюса имеется соответствующий нуль Если частота не равна нулю или , то полюс и нуль будут встречаться комплексно-сопряженными парами.

Типичное звено первого порядка цифрового всепропускающего фильтра обладает передаточной функцией вида

где а — вещественное число. Всепропускающий фильтр, заданный соотношением (12.122), обладает полюсом в точке и нулем в точке (рис. 12.21, а). Для обеспечения устойчивости необходимо, чтобы

Рис. 12 21. Примеры полюсов и нулей всепропускающий цифровых фильтров, а - случай первого порядка; б - случай второго порядка. О нулн; X полюсы. (см. скан)

Для того чтобы показать, что уравнение (12.122) на самом Деле описывает всепропускающий фильтр, вычислим его амплитудно-частотную характеристику

которая устанавливает, что фильтр, заданный уравнением (12.122), является всепропускающим фильтром.

Типичное звено второго порядка всепропускающего фильтра имеет передаточную функцию, которая определяется следующим образом:

где полюсы расположены в точках

а нули в точках

(рис. 12.21, б). Для обеспечения устойчивости фильтра требуется, чтобы

Если положить то можно найти амплитудно-частотную характеристику функции (12.125), которая имеет следующий вид:

Рассмотрим первый член в выражении, определяющем функцию

Подобным образом можно показать, что

Подставляя соотношение (12.128) в формулу (12.127), получаем

Это означает, что цифровой фильтр, заданный уравнением (12.125), в действительности является цифровым всепропускающим фильтром.

Одно важное свойство, присущее всепропускающему фильтру, заключается в том, что цифровой фильтр, полученный каскадным соединением всепропускающих фильтровых звеньев, также является всепропускающим фильтром. Говоря математически это означает, что если — передаточные функции, представляющие всепропускающие фильтры, то и передаточная функция

также представляет всепропускающий фильтр.

Пример 12.15. Показать, что цифровой фильтр, заданный следующим соотношением:

представляет собой всепропускающий фильтр.

Решение. Заметим, что

где функции задаются соответственно соотношениями (12 122) и (12.125). Из уравнений (12.124) и (12.129) следует, что амплитудно-частотная характеристика

Следовательно, уравнение (12.131) описывает цифровой всепропускающий фильтр.