12.1.4. Частотные преобразования

В предыдущих подразделах были рассмотрены три метода расчета цифровых фильтров. Во всех этих методах на первом этапе находится подходящий аналоговый фильтр, который удовлетворяет исходным требованиям. Как установлено в гл. 8, расчет аналогового фильтра начинается с нахождения соответствующего аналогового фильтра-прототипа нижних частот. В дальнейшем используется подходящее частотное преобразование для перевода этого прототипа нижних частот в требуемый аналоговый фильтр. Наконец, на основе процедуры отображения этот аналоговый фильтр преобразуется в желаемый цифровой БИХ-фильтр, который удовлетворяет предъявленным требованиям. Полностью эта процедура расчета показана на рис. 12.19, а.

Из предыдущих подразделов известно, что процедуры перехода на основе метода инвариантности импульсной характеристики и метода Эйлера по существу не обеспечивают хороших методов расчета цифровых фильтров, если полоса аналогового фильтра не ограничена низкими частотами. Метод билинейного преобразования (из-за нелинейного соотношения между цифровой частотой 0 и аналоговой частотой дает лучшие результаты только для тех частотных характеристик аналогового фильтра, которые представляют собой ступенчатообразную Функцию. Это означает, что процедура расчета (рис. 12.19, а) Не обеспечивает хороших методов расчета фильтров верхних Частот, заграждающих и некоторых типов полосовых фильтров.

Рис. 12.19. Общие процедуры расчета цифровых фильтров. (см. скан)

Для исключения этих недостатков используется другой подход к расчету цифровых БИХ-фильтров на основе методов расчета аналоговых фильтров. Такой способ изображен на рис. 12.19, б. В этом случае процедура перехода всегда имеет дело с нормированным прототипом нижних частот. Следовательно, рассмотренные в предыдущих подразделах три процедуры перехода смогут обеспечить хорошие результаты. В основном этот подход состоит в нахождении подходящего нормированного аналогового фильтра нижних частот. Аналоговый прототип отображается в цифровой фильтр-прототип нижних частот. Наконец, используется цифровое частотное преобразование для перехода от цифрового прототипа нижних частот к окончательному варианту, т. е. цифровому фильтру с подходящими характериками

в полосе пропускания и полосе задерживания и удовлетворяющему предъявленным требованиям. В этом подразделе рассматриваются различные частотные преобразования, которые завершают методику расчета (рис. 12.19,б).

Для всех рассматриваемых в этом подразделе цифровых частотных преобразований частота среза цифрового фильтра-прототипа нижних частот предполагается расположенной в точке . Например, рассмотрим передаточную функцию нормированного аналогового фильтра Баттерворта нижних частот второго порядка

где полюсы расположены в точках

Из уравнения (12.56) следует, что метод инвариантности импульсной характеристики отображает описываемый уравнением (12.95) аналоговый фильтр в цифровой фильтр с передаточной функцией вида

где Т — интервал дискретизации. Поскольку частота среза нормированного фильтра Баттерворта нижних частот расположена в точке

аналоговый прототип нижних частот занимает ограниченную рабочую полосу частот до , т. е.

(рис. 12.20, а). Любой интервал дискретизации Т, удовлетворяющий критерию Найквиста

не вызовет значительных наложений. Для простоты положим с. Очевидно, что интервал дискретизации с удовлетворяет условию (12.99). Следовательно, уравнение (12.96) приводится к виду

Следует отметить, что цифровой фильтр [уравнение (12.100)] обладает следующим усилением на «постоянном токе»:

Для того чтобы избавиться от нежелательного усиления, вызванного интервалом дискретизации, уравнение цифрового фильтра (12.100) умножается на значение интервала дискретизации. Следовательно, передаточная функция цифрового фильтра-прототипа нижних частот определяется следующим образом:

Рис. 12.20. Иллюстрации цифровых частотных преобразований. (см. скан)

Поскольку интервал Т меньше интервала дискретизации Найквиста, в этом случае наложения почти не существенны. Следовательно, из выражения (12.60) следует, что между цифровой Частотой 0 и аналоговой частотой устанавливается соотношение вида

Это означает, что частота среза цифрового фильтра-прототипа [уравнение (12.102)] равна

В этом подразделе для иллюстрации воздействия различных частотных преобразований используем цифровой фильтр-прото-тип нижних частот, заданный уравнением (12.102). В качестве дополнения на рис. 12.20, б показана амплитудно-частотная характеристика цифрового фильтра-прототипа нижних частот.