8.4. Основные преобразования частот и схем

Несмотря на то что большая часть наших обсуждений до настоящего момента концентрировалась на нормированных НЧ-структурах, это вовсе не означает, что именно они относятся к наиболее распространенному типу фильтров. В действительности причины ограниченности наших обсуждений связаны со следующими обстоятельствами: 1) нормированные фильтры нижних частот относятся к фильтрам, которые легче реализовать, чем какие-либо другие фильтры; 2) большинство требований, предъявляемых к полосовым, заграждающим фильтрам и к фильтрам верхних частот, а также к другим фильтрам нижних частот, легче всего реализовать путем соответствующего преобразования нормированной НЧ-структуры. На рис. 8.25 показаны две процедуры проектирования фильтров, которые по своим характеристикам отличаются от нормированного НЧ-прототипа.

8.4.1. Преобразование НЧ в НЧ

Этот процесс иногда называют масштабированием по частоте или денормированием по частоте. Все передаточные функции, которые мы обсуждали до настоящего момента, относились к фильтрам нижних частот с частотой среза, равной 1 рад/с. Материал, излагаемый в настоящей главе, окажется совершенно бесполезным, если не будет найден простой путь для преобразования частоты среза НЧ-прототипа, которая равна 1, в другие значения. К счастью, это довольно легко выполнить. Предположим, что нам необходимо получить частоту среза рад/с. Все, что для этого необходимо сделать, это заменить каждый символ в передаточной функции НЧ-прототипа на со/сое. Результирующая передаточная функция НЧ будет иметь частоту среза . Так, например, фильтр нижних частот Баттерворта порядка с единичной шириной полосы (частота среза равна 1) будет иметь передаточную функцию, квадрат модуля которой выражается в следующем виде:

(кликните для просмотра скана)

Фильтр нижних частот Баттерворта порядка с шириной полосы будет иметь аналогичную функцию в такой форме:

Для того чтобы показать, что выражение (8.149) определяет фильтр с частотой среза мы просто определим частоту , на которой уровень передачи снижается на 3 дБ. В этой точке должно удовлетворяться следующее уравнение:

где для фильтров нижних частот

для фильтров верхних частот (8.151)

или для заграждающих фильтров

центральной частоте для полосовых фильтров

После ряда алгебраических преобразований найдем, что

Следовательно, частота среза в точке 3 дБ равна При частотном преобразовании

конденсатор емкостью С Ф, используемый в схеме с единичной шириной полосы и имеющий сопротивление , преобразуется в ветвь схемы, имеющей полосу и сопротивление

чему соответствует конденсатор с емкостью . Катушка индуктивности в схеме с единичной шириной полосы имеет сопротивление , а ее аналог в схеме с полосой сос имеет сопротивление

и, следовательно, представляет собой катушку индуктивности с индуктивностью . В случае преобразования частоты, определяемого выражением (8.153), сопротивления резисторов и резистивных элементов остаются без изменений.

Как и в случае преобразования (8.132), преобразование (8.153) представляет собой лишь изменение частотного масштаба; если является точкой на оси частоты на нормированной частотной шкале, то сосх является точкой на оси частоты после частотного преобразования или же изменения масштаба в соответствии с (8.153).

Пример 8.12. Предположим, что нужно получить равноволновый фильтр, имеющий следующие характеристики:

а) Ширина полосы составляет

б) Неравномерность передачи в полосе пропускания равна 0,1 дБ.

в) Минимальное затухание в полосе задерживания равно 40 дБ для

1) Найти требуемую передаточную функцию.

2) Найти схемную реализацию требуемого фильтра.

Решение. В соответствии с уравнениями рис. 8.25, сначала произведем преобразование наших требований применительно к НЧ-прототипу:

а) Ширина полосы составляет (Это означает, что впоследствии потребуется выполнить преобразование частоты к или

б) Неравномерность передачи в полосе пропускания равна 0,1 дБ.

в) Минимальное затухание в полосе задерживания составляет 40 дБ для

Обратившись к рис. 8.15, а, найдем что условиям а), б) и в) удовлетворяет значение Чтобы найти нормированную передаточную функцию, воспользуемся выражениями (8.71) и (8.85) и рассчитаем параметр 8 и координаты трех полюсов:

Следовательно,

В соответствии с выражениями (8.153) требуемая передаточная функция определяется следующим выражением:

На рис. 8.26, а изображена схема, реализующая нормированную конфигурацию в соответствии с (8.155), которая получена с помощью данных из рис. справочной табл. 8.2. В результате использования преобразований схемных элементов в соответствии с (8.154) получим схему (рис. которая реализует требуемую передаточную функцию. Обратите внимание на то, что передаточная функция по напряжению схемы, которая приведена на рис. 8.26, б, удовлетворяет заданным условиям а), б) и в).

Пример 8.13. Предположим, что необходимо спроектировать фильтр с максимально плоской характеристикой группового времени, который должен удовлетворять следующим требованиям

б) характеризуется менее чем 3%-ной ошибкой для

1) Найти требуемую передаточную функцию.

2) Найти схемную реализацию требуемого фильтра.

Решение. При использовании переменных вида Тосо условие б) приобретает вид:

характеризуется менее чем 3%-ной ошибкой для рад.

Рис. 8.26. Схемы реализации нормированной передаточной функции и требуемой передаточной функции

Обратившись к рис. 8 21,6, найдем, что условие б) удовлетворяет значению Если воспользоваться выражением (8.128), то передаточная функция нормированного фильтра Бесселя будет иметь вид

Чтобы получить требуемую передаточную функцию, мы можем применить либо выражение (8.135) с либо выражение (8.153) с

Рис. 8 27. Схемы реализации нормированной передаточной функции (8 157) (а) и требуемой передаточной функции (8.158) (б).

В результате требуемая передаточная функция определится выражением:

На рис. 8 27, а изображена схема, реализующая нормированную конфигурацию в соответствии с (8 157), которая получена с помощью данных, взятых из рис. 8.23 и справочной табл. 8 4. Произведя преобразования параметров схемных элементов в соответствии с (8.154), получим требуемую схемную реализацию фильтра, которая изображена на рис. 8 27, б.