9.1. Чувствительности полюсов и нулей

Рассмотрим полином который является либо числителем, либо знаменателем передаточной функции, а также функций амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик, вещественной или мнимой частью передаточной функции и т. п. Пусть будет корнем полинома имеющим кратность Тогда полином можно записать в следующей форме:

где произведение остальных сомножителей разложения этого полинома на множители. Дифференциальное изменение параметров схемных элементов приведет к превращению полинома в новый полином

где представляет собой изменение происходящее в результате изменения схемных параметров. Следовательно, корень который нас интересует, изменит свое положение на новое . Обозначим смещение корня через

9.1.1. Методы расчета

Чтобы найти сначала вычислим путем решения уравнения

а затем применим (9.3). Однако решение уравнения (9.4) является весьма трудной задачей. В этом разделе мы изложим другой приближенный метод вычисления

Согласно (9.1) в окрестности функция будет приближенно равна

называется постоянной Лорана полинома при Если все изменения схемных параметров действительно малы, то и изменение будет также мало. Следовательно, разумно предполагать, что изменение в корнях будет также мало: окажется в ближайшей окрестности точки для которой справедливо соотношение (9.5). Предположив, что дело обстоит именно так, можем оценить (9.5) при в виде

Вспомним, что выражение (9.7) можно переписать в следующем виде:

Поскольку является корнем то, воспользовавшись выражением (9.2), имеем

Разложение функции в ряд Тейлора в точке дает

если действительно мало. Уравнение (9.10) означает по существу, что мы пренебрегаем теми изменениями интересующей нас величины, которые имеют второй порядок малости. Подставляя выражения (9.9) и (9.10) в выражение (9.8), получим

Благодаря малому изменению параметра из выражения (9.11) вытекает, что каждый корень полинома имеющий кратность превращается в простых корней, которые расположены на равных линейных и угловых расстояниях друг от Друга и размещены на окружности круга радиусом с центром в точке с координатами исходного корня . Если то выражение (9.11) непосредственно дает направление и линейную величину изменений корней.

Пример 9.1. Рассмотрим схему, изображенную на рис. 9.1. Каковы будут все возможные координаты полюсов, если значения параметров С и имеют -ные допуски.

Решение. Передаточная функция определяется следующим выражением:

Координаты полюсов схемы являются решениями уравнения

Когда , расположение полюсов определяется следующцм образом:

Поскольку и и С характеризуются не более чем 10%-ными допусками, результирующий полином при изменениях параметров на будет определяться следующим выражением:

Вычитая (9.13) из (9.15), получим

(9.16) Обратите внимание на то, что в (9.16) пренебрегли вариационными членами второго порядка.

Рис. 9.1. Схема для примера 9.1.

Вычисление в точке с координатами исходного полюса приводит к следующим соотношениям:

Чтобы найти возможные координаты полюсов, необходимо иметь постоянные Лорана для полинома в точках и При выражение (9.6) дает

Подставляя (9.17) и (9.18) в (9.11), получим

Следовательно, координаты после их изменения определяются следующими выражениями;

где координаты исходных полюсов определяются выражением (9.14). Чтобы найти примерные границы всех возможных координат полюсов, определяемых выражением (9.20), рассмотрим четыре случая:

Рис. 9.2. Расположение полюсов для схемы рис. 9.1,

В этом случае выражения (9.20) дают

Для этого случая с помощью (9.17) найдем, что Следовательно,

Результат, отвечающий этому случаю, также дается выражением (9.22).

В этом случае имеем

Построенный на основе выражения (9.20) график рис. 9.2 дает приблизительное расположение всех возможных координат полюсов схемы на рис. 9.1 в соответствии с (9.21) — (9.23).

Пример 9.2. Для схемы, изображенной на рис. 9.3, где найти смещение полюсов, если величина емкости изменяется на 2% до величины 1,02 Ф.

Рис. 9.3. Схемы для примеров 9.2 и 9.3.

Решение. Передаточная функция схемы (рис. 9.3) определяется следующим выражением:

Если все схемные параметры, за исключением сохраняют номинальные значения, выражение (9.24) упрощается до Полином знаменателя имеет вид

При номинальном значении имеем

и координаты полюсов

Это означает, что является полюсом с кратностью 2. Когда становится равной полином знаменателя приобретает вид

Вычитая (9.26) из (9.28), получим

Воспользовавшись (9.6), найдем постоянную Лорана

Подставляя выражение (9.29) в (9 30), найдем приблизительное расположение новых полюсов

Фактическое расположение полюсов для рассматриваемой схемы после дифференциального изменения можно найти путем решения уравнения (9.28). Решив это уравнение, получим

Из сравнения (9.31) с (9.32) обнаруживается превосходное совпадение приблизительных и точных значений новых координат.

Как демонстрируется примерами 9.1 и 9.2, видим, что корни полинома будут изменяться при изменении схемных параметров. Пусть — параметр схемы, испытывающей небольшое изменение параметров, -полином, связанный с данной схемой, для которой можно записать полином в виде неявной функции от с тем, чтобы показать, что представляет собой изменяющийся параметр. В таком случае корневая чувствительность корня полинома относительно параметра определяется следующим образом:

где — номинальное значение параметра. Например, в случае примера 9.2

Когда является полиномом знаменателя (или числителя) передаточной функции выражения (9.33) определяют полюсы (или нули) чувствительности функции

Отметим, что выражение (9.33 6) открывает и другой метод вычисления смещений корней. В принципе дифференциальный метод, на который опирается вывод выражения (9.33 6), представляет собой более простой путь, чем тот, который использовался в примерах 9.1 и 9.2. Проблема здесь, как это указывается выражением (9.35), заключается в отыскании функциональной зависимости между корнем и параметром . В случае большой схемы это оказывается действительно трудной задачей. Кроме того, если для анализа чувствительности используется цифровой компьютер, то определенные трудности вычислительного порядка представляет и то, что выражение (9.33 6) включает члены в виде производных. И наконец, если корень отличается множественной кратностью, операции дифференцирования, которые нужно выполнять при вычислении выражений

типа (9.33 б), вызывают определенные математические трудности.

Поскольку расположение корней полинома зависит от величины учтем эту зависимость, записывая как функцию

Пусть является номинальным значением Тогда координатой номинального корня будет

Если же теперь изменяется до величины то положение нового корня сместится к

Разложение выражения (9.37) в ряд Тейлора дает

Следовательно, положение полюса изменилось на величину

Из сравнения выражений (9.33) и (9.39) видно, что функция чувствительности, определенная в (9.33), учитывает вариационный эффект только первого порядка и может быть получена с помощью разложения в ряд Тейлора, которое содержит лишь член первого порядка.

Пример 9.3. Вычислить чувствительности полюсов относительно параметра усиления ИНУН в схеме рис. 9.3, где номинальное значение

Решение. Передаточная функция схемы рис. 9.3 определяется следующим выражением:

Таким образом, координаты полюсов как функции имеют

В соответствии с (9 33) чувствительности полюсов определяются как

Обратите внимание на то, что исходные координаты полюсов определяются с помощью выражений (9.41) при

Воспользовавшись (9.336), получим смещение полюсов

Это означает, что если возрастает на какую-либо величину, скажем на 1%, и достигает значения 4,04, то новые полюсы будут уже находиться в правой s-полуплоскости, и, таким образом, схема потеряет устойчивость.

В общем случае любая схема содержит много неидеальных элементов, каждый из которых характеризуется определенным значением допуска. Пусть представляет собой вектор схемных параметров, которые подвергаются небольшим изменениям, — полином, связанный с этой схемой. Пусть

представляет функциональную зависимость между координатами корней и параметрами вектора к. Пусть ко будет вектором номинальных параметров и

будет номинальным или исходным корнем. Предположим, что вектор параметров изменяется от до тогда новые координаты корня определяются в виде

Если величина мала, то новая координата корня будет приближенно выражаться разложением в ряд Тейлора (9.47) с одними лишь членами первого порядка

Следовательно, смещение положения корня будет определяться как

где представляет собой чувствительность корня относительно параметра как это определяется выражением (9.33). Обратите внимание на то, что (9.49) вычисляется при использовании номинальных значений параметров.

Пример 9.4. Найдите смещение полюсов, обусловленное малыми изменениями параметров, для схемы, изображенной на рис. 9.4.

Рис. 9.4. Схемы для примеров 9.4 и 9 5.

Решение. Передаточная функция по напряжению для схемы (рис. 9.4) определяется в такой форме:

Пусть определяет знаменатель полинома где -вектор параметров. Тогда

Таким образом, координаты полюсов определяются следующим выражением!

При номинальных величинах координатами полюсов будут

С помощью выражения (9 33) пэлучим следующие значения для чувствительностей:

После завершения всех этих предварительных вычислений можно с помощью (9.49) получить смещения координат полюсов в следующем виде:

Следует обратить внимание на то, что значения всех емкостей и проводимо стей изменяются на один и тот же процент. Таким образом,

а из (9.55) вытекает, что