3. Свойства функций цепи

Функция цепи представляет собой преобразование Лапласа импульсной характеристики и задается в виде отношения двух полиномов комплексной частоты До того как рассматривать свойства функций цепи, проведем обзор некоторых свойств полиномов комплексной переменной

3.1. Полиномы комплексной переменной

Полином называется четным, если он представляет собой сумму членов с четными степенями, и нечетным, если степени нечетные. Например, полиномы четные, в то время как полиномы нечетные, когда

— постоянные числа. Следует отметить, что если — четный, а — нечетный полиномы, то

Рвссмотрим полином общего вида, заданный следующим соотношением:

Его всегда можно записать в виде суммы четного и нечетного полиномов

называются соответственно четной и нечетной частями полинома Исходя из соотношений (3.1) и (3.2), получаем

В этой книге коэффициенты всех рассматриваемых полиномов являются вещественными числами. При этом введенном условии полиномы комплексной переменной s обладают следующими свойствами

1. Если полином переменной, то

где а обозначает величину, комплексно-сопряженную с а Например, если то

2. Если — четный полином, то из соотношений (3.1) и (3.5) получаем

где первое и последнее равенства в уравнении получаются соответственно из соотношений (3.5) и (3.1). Из уравнения (3.6) следует, что полином веществен для всех значений частоты

3. Если - нечетный полином, то из соотношений (3.2) и (3.5) получаем

Таким образом, полином имеет чисто мнимое значение и его можно выразить следующим образом:

где — вещественная функция вещественной переменной .

4. Если — корень полинома т. е.

где — соответственно четная и нечетная части полинома то является корнем полинома Очевидно, что так же справедливо и обратное утверждение. Следовательно, имеем:

Лемма 3.1. является корнем полинома если и только если — корень полинома , где — соответственно четный и нечетный полиномы.

5. Квадрат полинома где — соответственно его четная и нечетная части, задается следующим соотношением:

Поскольку вещественная, а чисто мнимая величина, то имеют вещественные значения и для всех частот . Вследствие этого

Кроме того, можно показать, что является полиномом переменной или, что эквивалентно, четный полином вещественной переменной .

Рис. 3.1. Квадрантная симметрия корней функции

X счетверенные комплексные корни; О пары вещественных корней; сопряженные пары корней на мнимой оси четных кратностей.

Например, если то

6. Корни полинома встречаются с квадрантной симметрией, которая означает следующее:

а) корни на вещественной оси s-плоскости встречаются на рами в точках

б) корни на мнимой оси s-плоскости встречаются комплексно-сопряженными парами четной кратности [т. е. если — корень полинома то как так и являются его

двойными, или счетверенными, или -кратными ..., корнями] и

в) комплексные корни встречаются в счетверенном виде [т. е. если — корень полинома где то также являются его корнями].

Это свойство расположения корней полинома иллюстрируется на рис. 3.1.

Свойства квадрантной симметрии в расположении полюсов полинома можно доказать, используя лемму 3.1. Простой подходящий случай задается следующим соотношением: . В этом случае получаем, что Таким образом, корни полинома равны