8.2.2. Фильтры Чебышева

В отличие от функций Баттерворта полиномы Чебышева не обладают всеми свойствами функции модуля, которые перечислены в теореме 8.1. Однако их можно использовать для конструирования передаточных функций, которые аппроксимируют амплитудно-частотные характеристики нормированных идеализированных фильтров нижних частот. Функция передачи для фильтра нижних частот должна стремиться к нулю при Таким образом, полиномы Чебышева должны быть одной из компонент полиномов знаменателя функции передачи фильтра. Подходящей функцией квадрата модуля функции передачи фильтра будет

где представляет собой свободный параметр, который устанавливает величину неравномерности передачи (рис. 8.12). При использовании квадрата функции и числитель и знаменатель являются полиномами, зависимыми от и имеют положительные значения. Следовательно, функция (8 67) удовлетворяет всем требованиям к функции модуля, которые содержатся в теореме 8.1. Это означает, что из выражения (8.67) может быть извлечена приемлемая функция передачи. Так что далее мы будем называть фильтр, который имеет функцию квадрата модуля, соответствующую (8.67), нормированным фильтром нижних частот Чебышева (или, короче, фильтром Чебышева) порядка. Исходя из выражения (8.67) и свойств полиномов Чебышева можно утверждать что нормированный фильтр нижних частот Чебышева порядка обладает следующими основными свойствами:

Свойство 1 Чебышева. Для значения функции колеблются между двумя пределами и 1. В общей сложности на интервале имеется критических точек, в которых функция достигает

Рис. 8.14. Равноволновое изменение передачи в полосе пропускания фильтров Чебышева.

максимального значения, равного 1, или минимального значения, равного Это является причиной того, что фильтры Чебышева также называются равноволновыми фильтрами. В качестве примеров на рис. 8.14 приведены графики функции определяемой выражением (8.67) на участке Осо 1. Обратите внимание на то, что ширина равноволновой полосы пропускания в нормированном случае составляет Если что соответствует обычному случаю, то частота среза по уровню 3 дБ для нормированного фильтра нижних частот Чебышева будет больше

Рис. 8.15. Характеристики затухания фильтров Чебышева. а — неравномерность передачи в полосе пропускания 0,1 д неравномерность передачи в полосе пропускания 0,2 дБ; в — неравномерность передачи в полосе пропускания 0,3 д неравномерность передачи в полосе пропускания 0,5 д неравномерность передачи в полосе пропускания 1 дБ;

е — неравномерность передачи в полосе пропускания 1,5 дБ; ж — неравномерность передачи в полосе пропускания 2 дБ;

з - неравномерность передачи в полосе пропускания 2,5 дБ; и — неравномерность передача в полосе пропускания 3 дБ.

Свойство 2 Чебышева. При функция монотонно убывает и стремится к нулю. Крутизна спада на высоких частотах составляет 20n дБ/декада.

Рис. 8.15 б.

Свойство 3 Чебышева. Функция квадрата модуля фильтра Чебышева порядка удовлетворяет следующим уравнениям:

Если заданы характеристики полосы пропускания и полосы задерживания, то можно определить колебательный параметр

Рис. 8.15 в.

и порядок фильтра Чебышева. Обычно вместо величины задается выраженная в дБ максимальная величина относительно затухания в полосе пропускания, где

Следовательно, колебательный параметр определяется как

Рис. 8.15г.

Выбор порядка фильтра Чебышева определяется на основе других критериев, таких, как крутизна спада на высоких частотах в децибелах, желательная частота среза, стоимость (допустимое число элементов) и другие факторы.

На рис. 8.15 приведены графики функций затухания фильтров Чебышева для различных величин неравномерности передачи в полосе пропускания; эти графики можно использовать при проектировании фильтров.

Рис. 8.15 д.

Пример 8.4. Предположим, что нам необходимо спроектировать нормированный равноволновый фильтр нижних частот, отвечающий следующим требованиям:

1) Максимальное относительное затухание в полосе пропускания (неравномерность передачи) составляет 1 дБ.

2) Частота среза 1,2 рад/с.

3) Затухание в полосе задерживания равно по крайней мере 40 дБ при 0,4 рад/с.

Найдите требуемую функцию модуля.

Рис. 8.15 е.

Решение. Используя выражение (8.71), имеем

Чтобы определить порядок фильтра Чебышева, который необходим для влетворения заданных условий, можно воспользоваться либо выражением (8.67) и , задаваемым выражением (8.72), либо можно использовать графики, приведенные на рис. 8.15, д. Выбирая последний вариант, находим, что условие 2 подразумевает, что тогда как условие 3 требует, чтобы . Следовательно, фильтр Чебышева третьего порядка с в, определяемым выражением (8,72), будет удовлетворять всем заданным требованиям.

Рис. 8.15 ж.

Исходя из (8 61), имеем

Подставляя выражения (8 72) и (8.73) в формулу (8.67), получим требуемую функцию квадрата модуля передачи

Рис. 8.15 з.