3.2. Функция цепи

Пусть — функция цепи, которая может быть входной функцией полного сопротивления или проводимости двухполюсника или передаточной функцией между входным и выходным зажимами четырехполюсника. Тогда представляет собой рациональную функцию переменной s с вещественными коэффициентами и может быть записана в виде отношения двух полиномов следующим образом:

где являются соответственно полиномами числителя и знаменателя функции — соответственно четная и нечетная полинома — четная и нечетная части полинома

Умножая уравнение (3.11) на получаем

Заметим, что первый член в выражении (3.12) является четной функцией

а второй член — нечетной функцией

Впредь будут соответственно называться четной и нечетной частями рациональной функции заданной уравнением (3.11). При подстановке из уравнений (3.13) и (3.14) следует, что — вещественная, а — чисто мнимая величины. Поэтому

Уравнение (3.15) устанавливает, что по заданной вещественной (мнимой) части функции можно найти ее четную (нечетную) часть и наоборот.

3.2.1. Преобразование Гильберта

Соотношение между вещественной и мнимой частями функции цепи (которая описывает физически реализуемую систему) может быть выражено через преобразование Гильберта, как показано в дальнейшем.

Предположим, что функция цепи является аналитической в замкнутой правой половине (включая и мнимую ось) s-плоскости. Запишем следующее соотношение:

где — соответственно вещественная и мнимая части функции Если

то связываются соотношениями вида

Следует отметить, что между соотношениями (3.18) и (3.19) отсутствует симметрия. Это отсутствие симметрии следует из того факта, что рассматриваются только функции цепи, преобразования Лапласа которых являются вещественными временными функциями. Если рассмотреть комплексные временные функции, то появится член в правой половине уравнения (3.18) и два уравнения, а именно (3.18) и (3.19), будут симметричны. С другой стороны, если импульсная характеристика которая представляет собой обратное преобразование Лапласа функции не содержит импульсной функции в точке то и уравнение (3.19) упрощается и имеет следующий вид;

На основе преобразования Гильберта, если удовлетворяются определенные условия (для физически реализуемых, устойчивых схем эти требуемые условия выполняются), то

1. Если задана мнимая часть то можно получить вещественную часть с помощью уравнения (3.19). На основе можно сформировать функцию . Из свойства аналитической непрерывности [т. е. при замене со на получаем функцию

2. Если задана вещественная часть то из уравнения (3.18) получаем и на их основе можно снова сформировать функцию При подстановке получаем

Пример 3.1. Задана вещественная часть виде Найти соответствующую функцию цепи

Решение. Мнимая часть из уравнения (3 18) определяется следующим образом:

Следовательно,

и, таким образом,

Заметим, что в основном оценка интегралов в соотношениях (3.18) и (3.19) затруднительна и часто требуется обращение к таблицам интегралов или к области математики, которая называется комбинаторикой.

Если теперь более подробно рассмотреть соотношения (3.18) и (3.19), то видно, что оба интеграла представляются в виде интеграла свертки

где либо в соотношении (3.18), либо в соотношении (3.19). Некоторое сокращение затрат при оценке соотношений (3.18) и (3.19) можно получить, если использовать полезные свойства интегралов свертки. Вот некоторые из них:

1. Преобразование Лапласа функции задается в виде произведения преобразований Лапласа . Следует отметить, что в соотношениях (3.18) и (3.19) преобразования Лапласа в действительности будут производиться над функциями переменной со, а не над обычными временными функциями.

2. Уравнения (3.20) можно также записать в следующем виде:

Было показано, что преобразование Гильберта можно использовать для нахождения вещественной части функции цепи, если задана ее мнимая часть, и наоборот. Следует отметить, что преобразование Гильберта представляет собой просто набор соотношений между вещественной и мнимой частями комплексной функции, которая является аналитической в правой половине s-плоскости. Если записать

то в этом соотношении логарифмическую функцию называют затуханием или функцией потерь, а фазой (или, более точно, фазовой задержкой) фильтра. Логарифмируя выражения (3.25), получаем

Заметим, что если функция является аналитической на правой половине s-плоскости, то которые являются вещественной и мнимой частями функции будут связаны между собой уравнениями преобразования Гильберта следующим образом:

Пример 3.2. Фазовая характеристика требуемого фильтра задана в следующем виде:

и показана на рис. 3.2, а. Найти соответствующее затухание, или функцию потерь этого фильтра.

Решение. Поскольку (рис. 3.2, б) имеет более простую форму, чем , то, применяя свойство (3.24) к уравнению (3.28), получаем

Следовательно,

Интегрирование уравнения (3.31) дает

Идеально постоянное групповое время (рис. 3.2, б) в интервале частот представляет значительный интерес при проектировании фильтров.

Рис. 3.2. а — фильтр с линейной фазой; б - фильтр с постоянным групповым временем,

Следовательно, соответствующая ему функция затухания при условии минимальной фазы) имеет большое практическое значение. Однако трудно оценить поведение функции в соотношении (3.22), за исключением крайних областей, а именно:

1. При , применяя разложение уравнения (3.22) в ряд Тейлора, находим, что

2. При т. е. при аппроксимация дает

График функции изображен на рис. 3.3.

Для того чтобы применить преобразование Гильберта к фазе и модулю функции цепи, было предъявлено требование аналитичности функции в правой половине s-плоскости.

Таким образом, требуется аналитичность не только функции в правой половине s-плоскости, но также и обратной ей функции Поскольку и если аналитическая функция, то следует, что Следовательно, для применения соотношений (3.27) и (3.28) необходимо иметь уверенность в аналитичности функций в правой половине s-плоскости, что в свою очередь означает отсутствие нуля или полюса функции в правой половине

Рис. 3.3. Функция затухания фильтра с постоянным групповым яремом

Такая функция называется минимально-фазовой.

Причина введения понятия минимальности фазы состоит в том, что если имеются две функции цепи с одинаковыми модулями, т. е.

1) для всех частот , таких, что

2) имеет один или более нулей в правой половине s-плоскости, а

3) не содержит нуля в правой половине s-плоскости, то для всех ,

где соответственно фазы функций Другими словами, функция цепи не обладающая нулем в правой половине s-плоскости, будет иметь меньший фазовый угол по сравнению с той функцией цепи которая содержит один или более нулей в правой половине s-плоскости.

Наиболее простые фильтры описываются минимально-фазовыми функциями, даже если устойчивость системы не ограничивает расположение нулей функции цепи. В противном случае потребовались бы взаимные соединения, многократные пути

передачи между входным и выходным сигналами фильтра или их комбинациями. Всего этого желательно избежать на практике, поскольку это приводит к увеличению сложности и чувствительности результирующей схемы фильтра.

В примерах 3.1 и 3.2 было показано, что оценка интегралов в преобразованиях Гильберта в основном крайне затруднительна. Значение преобразования Гильберта состоит в том, что оно используется скорее для объяснения, чем для расчета. На основе преобразования Гильберта: если определены вещественная или четная части (мнимая или нечетная части), которые удовлетворяют определенным требованиям обработки сигнала, то соответствующий фильтр полностью описан. Аналогично, если известны или фаза, или модуль минимально-фазовой функции фильтра, которые вычислены вдоль мнимой оси s-плоско-сти, то такой фильтр полностью охарактеризован. Другими словами, фильтр можно спроектировать для обеспечения требований либо к фазе, либо к модулю, а не к обоим сразу. В этом смысле преобразование Гильберта устанавливает теоретические ограничения рабочих характеристик фильтра.