Главная > Алгебра
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 3. Элементарные свойства многочленов

Пусть А — коммутативное кольцо и S — множество из символов Отождествляя с их каноническими образами в кольце многочленов мы называем независимыми переменными над A, a -кольцом многочленов от переменных. Всякий многочлен а из А [X] допускает единственное представление в виде

Пусть (-элемент из (прямого произведения А самого на себя раз), которое мы будем обозначать через АК В силу теоремы 1 существует однозначно определенный гомоморфизм

для которого при и который тождествен на А. Имеем

Мы будем обозначать этот элемент из А через и говорить, что это элемент, полученный подстановкой вместо в а.

Таким образом, мы видим, что а определяет функцию на со значениями в А.

Аналогично, если А — подкольцо (коммутативного) кольца В и — элемент из то мы можем тем же путем, что и выше, образовать элемент и получить функцию из В в В, задаваемую соответствием .

Записывая а, как и выше, мы видим, что

или в векторных обозначениях

В этих обозначениях

Мы увидим ниже, что в том случае, когда А — целостное кольцо, также целостное. Если К — поле частных кольца А, то поле частных кольца обозначается через Элементы поля называются рациональными функциями. Всякая рациональная функция может быть записана в виде дроби , где — многочлены. Если - элемент из и рациональная функция допускает представление в виде такой дроби что то мы говорим, что эта рациональная функция определена в (b). Из общих свойств локализации вытекает, что в этом случае мы можем подставить в рациональную функцию и получить значение

Может случиться, что многочлен не является нулевым многочленом, но определяет нулевую функцию.

Пример. Пусть для некоторого простого р. Если , то . Если , то а — элемент мультипликативной группы ненулевых элементов из А, имеющей порядок Значит, и мы получаем

Это справедливо для всех . Поэтому многочлен определяет нулевое отображение А в себя, а многочлены и X определяют одну и ту же функцию, а именно тождественное отображение на А.

Вообще пусть F — конечное поле и q — число элементов в F. Тогда как так и X определяют тождественное отображение F в себя. Можно показать, что любое отображение F в себя задается некоторым многочленом (от одной переменной) и аналогично любая функция на F со значениями в F задается некоторым многочленом от переменных (см. упражнения).

Пусть снова А — подкольцо в В, и пусть - элементы из В. Напомним, что если гомоморфизм

задаваемый соответствием имеет тривиальное ядро, т. е. если он является вложением, то алгебраически независимы над А. Если и элемент алгебраически независим над А, то мы также говорим, что b трансцендентен над А.

Пример. Известно (хотя и не тривиально доказывается), что числа трансцендентны над полем рациональных чисел Q. Не известно, являются ли они алгебраически независимыми (или даже, рационально ли число ). Для конкретных комплексных чисел обычно бывает чрезвычайно трудно выяснить, являются ли они трансцендентными или же алгебраически независимыми над полем рациональных чисел.

Пусть А обозначает, как и прежде, коммутативное кольцо, и пусть Под степенью примитивного одночлена

мы будем понимать целое число (которое ). Многочлен

будет называться одночленом (не обязательно примитивным).

Если — многочлен из записываемый в виде

то либо и в этом случае мы говорим, что его степень равна — либо а и тогда мы определяем степень а как максимум степеней одночленов , для которых (G таких одночленах говорят, что они встречаются в многочлене.) Отметим, что степень многочлена а равна 0 в том и только в том случае, если

для некоторого Этот многочлен мы также записываем просто как т. е. пишем 1 вместо

отождествляя тем самым этот многочлен с константой

Отметим, что многочлен от переменных можно рассматривать как многочлен от с коэффициентами в (если 2). Действительно, имеет место гомоморфизм

получаемый подстановкой, и этот гомоморфизм, очевидно, является изоморфизмом.

Таким образом,

где — элементы из . Под степенью многочлена а относительно мы будем понимать его степень как многочлена от с коэффициентами в . Легко видеть, что если эта степень равна d, то - наибольшее целое число, встречающееся в качестве показателя при в одночленах

. Аналогичным образом определяем степень по каждой переменной

Степень многочлена а по каждой отдельной переменной, как правило, отличается, конечно, от его степени (которую называют иногда полной степенью, если хотят избежать двусмысленности). Например,

имеет полную степень 4, степень 3 по и 2 по

Мы будем часто слово «степень» сокращенно обозначать символом

Пусть многочлен от одной переменной из А [X]

где — некоторое целое число 0. Если то по определению мы называем старшим коэффициентом многочлена а - его постоянным членом. Заметим, что

Пусть

— некоторый многочлен из А [X] степени , причем . Тогда

Если предположить, что по крайней мере один из старших коэффициентов или не является делителем 0 в А, то

и старший коэффициент равен . Это выполняется, в частности, в тех случаях, когда или есть единица в А, или когда кольцо А — целостное.

Следовательно, если А — целостное кольцо, то А [X] также целостное. Если или , то мы по-прежнему имеем

если считать, что для любого целого .

Тривиально проверяется, что для любых многочленов имеет место неравенство

опять-таки при соглашении, что для всякого целого .

Мы предоставляем читателю в качестве упражнения доказать, что в том случае, когда А — целостное кольцо и — многочлены от нескольких переменных имеют место те же правила:

Здесь степень может пониматься либо как полная степень, либо как степень по одной из переменных. Мы заключаем отсюда, что кольцо — целостное.

Пусть снова А — произвольное коммутативное кольцо и d — целое число . Пусть

многочлен от переменных над А. Мы будем говорить, что однородный многочлен степени d, или форма степени d, если все одночлены, встречающиеся в имеют степень d, т. е. если в записи

для всякого имеем

Мы предоставим читателю в качестве упражнения доказать, что ненулевой многочлен от переменных над А является однородным степени d тогда и только тогда, когда для всякого множества из алгебраически независимых элементов и, над А имеет место равенство

Пусть - однородный многочлен степени d. В силу теоремы 1 аналогичное соотношение выполняется, если подставить вместо и, произвольные элементы (при этом берутся из некоторого коммутативного кольца В, содержащего А в качестве подкольца).

Отметим, что если и g — однородные многочлены степеней соответственно и , то — однородный многочлен степени . Если , то — однородный многочлен степени

Наконец, сделаем одно замечание относительно терминологии. Ввиду изоморфизма

между кольцом многочленов от переменных и кдльцом, порожденным над алгебраически независимыми элементами, мы можем применять всю терминологию, введенную нами для многочленов, к элементам из Таким образом, мы можем говорить о степени элемента из и правила для степени произведения и суммы будут выполняться. Фактически мы будем элементы из называть также многочленами от (t). Алгебраически независимые элементы будут также называться переменными (или независимыми переменными); любое различие, которое мы делаем между является скорее психологическим, чем математическим.

1
Оглавление
email@scask.ru