2. Обобщенные координаты.

При элементарном векторном подходе к механике абстрактная концепция «координат» не является деталью всей картины. Сам метод по существу является существенно геометрическим.

Векторные методы чрезвычайно полезны в задачах статики. Однако в динамике число задач, которые могут быть решены чисто векторными методами, сравнительно невелико. При решении большинства сложных задач геометрический подход векторной механики оказывается несостоятельным и вынужден уступать дорогу более абстрактному аналитическому подходу. При таком аналитическом обосновании механики понятие координат в наиболее общем смысле занимает центральное место.

Аналитическая механика является чисто математической наукой. Все производится путем вычислений в абстрактной сфере математических величин. Физический мир переводится на язык математических соотношений, и этот перевод совершается при помощи координат. Координаты устанавливают взаимооднозначное соответствие между точками физического пространства и числами. После установления этого соответствия мы можем оперировать с координатами как с алгебраическими величинами, забывая об их физическом значении. Конечный результат подобных математических вычислений затем переводится обратно в мир физических реальностей.

За столетие, прошедшее от Ферма и Декарта до Эйлера и Лагранжа, произошло необычайно бурное развитие методов высшей математики. Одним из наиболее важных изменений было обобщение первоначальной идеи Декарта о координатах. Ясно, что введение системы из трех взаимно перпендикулярных осей, с определением длины, ширины и высоты относительно них, является всего лишь одним из способов установления взаимооднозначного соответствия между точками пространства и числами. Другие способы могут также хорошо служить для этой цели. Например, вместо прямоугольных координат, можно взять сферические координаты Одна из характерных особенностей аналитических методов механики заключается именно в том, что мы не накладываем никаких условий на природу координат, переводящих данное физическое явление в абстрактную математическую схему.

Рассмотрим сначала механическую систему, состоящую из свободных частиц, «свободных» в том смысле, что они не связаны никакими кинематическими условиями. Прямоугольные координаты этих частиц

характеризуют положение механической системы. Задача движения, естественно, считается решенной, если известны как функции времени

Эта задача, однако, будет решенной и в том случае, если выражены через какие-то другие величины

а в свою очередь определены как функции времени

Такой косвенный процесс решения задачи о движении представляет огромные преимущества, что оказывается на практике решающим фактором. Эта операция в математике называется «преобразованием координат». Она является обобщением перехода от прямоугольных координат одной точки х, к ее сферическим координатам Обобщение соотношений

заключается в том, что старые переменные могут являться произвольными функциями новых переменных. Количество переменных равно уже теперь не 3, а так как положение рассматриваемой механической системы определяется координатами. Таким образом, в общей форме подобное преобразование координат выглядит следующим образом:

Мы можем выбрать функции любым способом и свести первоначальную задачу об определении как функций к новой задаче об определении как

функций t. При некотором искусстве можно выбрать систему координат так, чтобы новая задача решалась гораздо легче старой. Полная свобода в выборе системы отсчета позволяет выбрать коордннаты так, чтобы они были особенно удобны для данной задачи. Например, в задаче о движении планеты, т. е. материальной частицы, вращающейся вокруг неподвижного притягивающего центра, сферические координаты гораздо лучше соответствуют условиям задачи, чем прямоугольные.

Преимущество обобщенных координат становится более очевидным, если рассматриваются механические системы с наложенными на них кинематическими условиями. Эти условия математически выражаются определенными функциональными соотношениями между координатами. Например, расстояние между двумя атомами, образующими молекулу, определяется равновесием внутримолекулярных сил. С точки зрения динамики такая система может рассматриваться как состоящая из двух частиц с координатами и частицы находятся на постоянном расстоянии а одна от другой. Это приводит к условию

вследствие которого 6 координат не могут быть выбраны независимо. Достаточно задать 5 координат; шестая определится из условия (1.2.5). Очевидно, однако, что нецелесообразно рассматривать одну из координат как зависимую переменную, поскольку соотношение (1.2.5) симметрично относительно всех координат. Более естественно ввести три прямоугольные координаты центра масс системы и два угла, определяющих направление оси двухатомной молекулы. 6 прямоугольных координат можно выразить через эти 5 параметров.

В качестве второго примера рассмотрим твердое тело, которое может состоять из любого числа частиц. Но, независимо от числа частиц, достаточно задать три координаты центра масс и три угла, определяющих поворот тела относительно системы неподвижных осей. Эти 6 параметров полностью определяют положение тела. Координаты любой из его частиц могут быть выражены через эти параметров.

В общем случае, когда на механическую систему из частиц наложено независимых кинематических условий,

конфигурация этой системы может быть однозначно задана с помощью

независимых параметров

причем прямоугольные координаты всех частиц могут быть записаны как функции переменных (1.2.7):

Число не может меняться для данной механической системы и является ее характерной константой. Меньшее количество параметров недостаточно для описания системы, большего же количества не требуется. О системе, для однозначного определения конфигурации которой необходимо и достаточно задать параметров, говорят, что она обладает степенями свободы»; сами параметров называются «обобщенными координатами» системы. Число частиц, образующих механическую систему, а также их координаты несущественны при аналитическом методе исследования, важны лишь обобщенные координаты и некоторые определенные функции от них. Твердое тело может состоять из бесконечного количества частиц, а с точки зрения механики — это система, имеющая не более чем независимых координат.

Примеры.

Одна степень свободы. Поршень, двигающийся вверх и вниз. Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси.

Две степени свободы. Частица, перемещающаяся по заданной поверхности.

Три степени свободы. Частица, перемещающаяся в пространстве. Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной точки (волчок).

Четыре степени свободы. Двойная звезда, плоскость вращения которой не поворачивается.

Пять степеней свободы. Две частицы, удерживаемые на определенном расстоянии друг от друга.

Шесть степеней свободы. Две планеты, вращающиеся вокруг неподвижного Солнца. Твердое тело, свободно перемещающееся в пространстве.

Обобщенные координаты не обязательно должны иметь геометрический смысл. Необходимо, однако, чтобы функции (1.2.8) были ограничены, однозначны, непрерывны и дифференцируемы и чтобы якобиан по крайней мере одной комбинации из функций был отличен от нуля. Эти условия могут нарушаться в некоторых особых точках, которые нужно исключить из исследования. Например, преобразование (1.2.3) от прямоугольных к сферическим координатам удовлетворяет общим условиям регулярности, однако следует иметь в виду, что при якобиан преобразования обращается в нуль.

Кроме этих ограничений «в малом» следует обратить внимание и на ограничения «в большом». Нужно, чтобы диапазон непрерывного изменения переменных допускал изменение первоначальных прямоугольных координат в достаточно широких пределах, не ограничивая их более, чем этого требуют наложенные кинематические условия. (Например, преобразование (1.2.3) гарантирует изменение при меняющемся . Однако эти условия очень редко осложняют исследование, так как даже если и нельзя охватить весь диапазон движения, то все же остается возможность изучить характерную его часть.

Не всегда имеет смысл исключать все кинематические условия задачи путем введения соответствующих обобщенных координат. Иногда удобнее исключить только часть условий, сохранив остальные в виде дополнительных условий. Поэтому наиболее общая формулировка задачи о механической системе с наложенными на нее кинематическими условиями выглядит следующим образом. Имеется система уравнений (1.2.8) и, кроме того, уравнений вида

число степеней свободы при этом равно

Резюме. Проблемы изучения движения аналитическими методами требуют обобщения первоначальной концепции декартовых координат. В качестве системы координат может быть выбрана любая совокупность параметров, характеризующая положение механической системы. Эти параметры называются обобщенными координатами системы.