3. Решение уравнения в частных производных методом разделения переменных.

У нас нет какого-либо общего метода решения уравнений в частных производных. Однако при некоторых особых условиях оказывается возможным найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби. Этот специальный класс задач сыграл важную роль в развитии, теоретической физики, так как оказалось, что ряд основных задач теории атома Бора принадлежит к этому классу. В таких задачах одно уравнение в частных производных с переменными может быть заменено обыкновенными дифференциальными уравнениями с одной независимой переменной, которые полностью интегрируются. Такие задачи называются «задачами с разделяющимися переменными».

Метод «разделения переменных» заключается в следующем. Мы пытаемся решить данное дифференциальное уравнение путем представления функции в виде суммы и функций, каждая из которых зависит только от одной из переменных

Приведет ли такое весьма специальное предположение к нужному результату, заранее сказать нельзя. Просто из

алгебраического вида функции Гамильтона нельзя усмотреть, будет ли уравнение с разделяющимися переменными или нет. Леви - Чивита показал, как можно исследовать разделяемость заданной функции Гамильтона, однако в данном случае проще предположить, что имеет форму (8.3.1), и проверить это предположение, непосредственно подставив функцию такого вида в уравнение в частных производных.

Характерным для решения в форме (8.3.1) является то, что импульс

оказывается функцией только Запишем уравнение

и разрешим его относительно При этом импульс получится, вообще говоря, функцией всех согласно (8.3.2), он должен был бы зависеть от одной . Это противоречие может быть устранено только, если приравнять константам некоторые определенные комбинации остальных переменных. Поэтому можно заранее сказать, что разделение возможно только в случае, когда уравнение (8.3.3) может рассматриваться как следствие соотношений вида

где произвольные константы, полученные в процессе разделения. Обычно в отдельные уравнения (8.3.4) входят не все Часто выделение первой переменной, выбранной соответствующим образом, приводит к введению одной константы, потом при выделении второй переменной появляется вторая константа и т. д., пока мы, наконец, не получим констант разделения Постоянная энергии является функцией этих констант

Из этого соотношения можно исключить константу выразив ее через и Уравнения (8.3.4) оказываются

поэтому достаточно общими, чтобы охватить все системы с разделяющимися переменными; с другой стороны, если переменные разделяются, то должны выполняться уравнений вида (8.3.4).

Заменив согласно (8.3.2), на получим непосредственным интегрированием

Аддитивная константа входит слагаемым в аддитивную константу функции и потому не представляет интереса. Истинные «константы интегрирования» появляются в процессе разделения переменных; само же интегрирование не приводит к появлению новых констант.

В качестве типичного примера рассмотрим задачу Кеплера о движении планет. Используя сферические координаты получаем линейный элемент

и функцию Гамильтона

В уравнении переменные можно разделить следующим образом:

Итак, процесс разделения переменных автоматически приводит к нужному числу констант. При настоящем интегрировании дополнительные константы уже не появляются.

Задача 1. Произвести разделение переменных в задаче о движении в однородном поле тяжести в прямоугольной системе координат.

Задача 2. Произвести разделение переменных в задаче об «анизотропном осцилляторе»

в прямоугольной системе координат.

Задача 3. Произвести разделение переменных в задаче об эффек те Штарка

(Е - напряженность электрического поля, действующего вдоль оси z) в параболических координатах (Эпштейн, 1916)

Иногда разделение переменных возможно не только в одной, а в нескольких системах координат. Старая квантовая теория называла такие системы «вырожденными системами». Например, в задаче Кеплера разделение переменных возможно не только в сферических, но и в параболических координатах.

Из уравнений (8.3.6) видно, что для систем с разделяющими переменными полный интеграл уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби можно получить в квадратурах. Возникает такая необычная ситуация, что сопряженные переменные в каждой паре связаны непосредственно друг с другом без участия остальных переменных. Механическая система с степенями свободы может рассматриваться как суперпозиция систем с одной степенью свободы. Однако истинные уравнения движения такие:

и в этих уравнениях переменные не разделены, потому что, вообще говоря, каждое конкретное а также будут входить более чем в одну из

Задача 4. Получить функцию и полное решение задачи Кеплера (см. пример выше).

Задача 5. Сделать то же самое для задачи об однородном поле тяжести, сформулированной в задаче 1.

Разделяемость переменных в тех или иных задачах не свидетельствует об особенностях физических свойств

соответствующнх механических систем, а является результатом только правильного выбора системы координат. Если в данной задаче при одной системе координат переменные не разделяются, то они вполне могут разделиться после соответствующего точечного преобразования. К сожалению, выбор правильной системы координат является в каком-то смысле делом случая, так как никакого систематического метода для выполнения этой операции не существует.

Бюргерс показал, что задача о комбинированном эффекте Штарка и Зеемана (движение электрона вокруг ядра, возмущенное внешним электрическим и магнитным полями) не допускает разделения переменных ни при каких системах координат, и вместе с тем разделение переменных возможно после соответствующего канонического преобразования.

Резюме. При благоприятных обстоятельствах дифференциальное уравнение Гамильтона — Якоби непосредственно интегрируется в квадратурах. Это происходит в том случае, когда уравнение для энергии распадается на уравнений, каждое из которых содержит лишь одну пару сопряженных переменных При этом функция может быть записана в виде суммы функций, каждая из которых зависит лишь от одной из переменных Константы интегрирования появляются в процессе разделения переменных.