6. Неголономные дополнительные условия.

Как было показано в гл. I, п. 6, ограничения на координаты механической задачи могут быть наложены в дифференциальной, а не в конечной форме. Отсюда возникает вариационная задача с неголономными дополнительными условиями. Уравнения (2.5.13) в этом случае отсутствуют, но имеются соотношения, аналогичные дифференциальным формам (2.5.14) для конечных дополнительных условий. Единственное различие заключается в том, что в левых частях уравнений стоят теперь не полные дифференциалы, а просто бесконечно малые величины. Неголономные условия можно записать в следующем виде:

Здесь заданные функции которые не могут рассматриваться как частные производные функции

Задачу с неголономными условиями нельзя решать методом исключения переменных, потому что нет уравнений, с помощью которых можно бы выразить одни переменные через другие. Метод множителей Лагранжа тем не менее применим. При помощи операций, в точности подобных описанным ранее, можно получить уравнение, аналогичное (2.5.20), а именно

в этом уравнении снова все можно считать свободными вариациями. Единственная разница заключается в том, что мы не можем перейти к уравнению (2.5.21) и должны удовлетвориться дифференциал ьной формулировкой метода. Таким образом, мы еще в одном случае произвели сведение вариационной задачи на условный экстремум к свободной вариационной задаче.

Резюме. Метод Лагранжа применил также и при неголономных условиях. Левые части этих условий умножаются на некоторые неопределенные множители X и прибавляются к вариации исследуемой функции F. Все это выражение приравнивается нулю, причем все вариации считаются здесь свободными.