11. Дифференциальные уравнения Эйлера — Лагранжа в случае n степеней свободы.

В механике приходится иметь дело с вариационными задачами следующего вида. Требуется найти стационарное значение определенного интеграла

с граничными условиями

( заданы на концах интервала в точках и так что их вариации в этих точках равны пулю). Здесь неизвестные функции их требуется определить, исходя из того условия, что при искомом движении интеграл принимает стационарное значение

для произвольных независимых вариаций удовлетворяющих граничным условиям (2.11.2).

Выделим одну из переменных и будем варьировать только по ней, оставляя остальные неизменными. При этом мы сможем использовать уравнение (2.10.9), предварительно лишь заменив в обозначениях у на у на а независимую переменную на время Функция теперь обозначена через а пределы интегрирования — через . В результате имеем

Эти уравнения справедливы для каждого отдельного где пробегает все значения от 1 до

Примененные до сих пор вариации были частными вариациями. Естественно возникает вопрос, не появятся ли какие-либо дополнительные условия при одновременном варьировании по всем Этого, однако, не случится, вследствие принципа суперпозиции операций с бесконечно малыми величинами. Обозначим через вариацию получающуюся при варьировании только по одному Тогда при одновременном варьировании по всем результирующая вариация запишется следующим образом:

Из дифференциального уравнения (2.11.4) следует обращение в нуль Поскольку оно справедливо для всех сумма (2.11.5) обращается в нуль, т. е. при произвольных вариациях

Таким образом, задача нахождения стационарного значения интеграла при произвольных вариациях по при фиксированных граничных значениях решена. Условия стационарности получаются в виде следующей системы дифференциальных уравнений:

Они называются «дифференциальными уравнениями Эйлера — Лагранжа», а также, когда они встречаются в приложениях к механике, «уравнениями движения Лагранжа».

За исключением того единственного случая, когда зависит от части либо от всех линейно, все частные производные

будут содержать соответствующие Поэтому дифференцирование по приведет везде к появлению вторых производных Полученные уравнения можно алгебраически разрешить относительно и записать систему дифференциальных уравнений (2.11.6) в следующем виде:

В результате решения такой системы дифференциальных уравнений второго порядка появится констант интегрирования, так что полное решение (2.11.7) может быть записано следующим образом:

Константы интегрирования выбираются в соответствии с граничными условиями. Наша вариационная задача требует варьирования при фиксированных граничных значениях. Следовательно, координаты заданы при Это и есть граничных условий, которым можно удовлетворить соответствующим выбором констант Однако природа задач механики такова, что обычно вместо граничных условий задаются начальные условия. Наличие констант интегрирования позволяет задать произвольным образом все начальные значения координат и скоростей.

Резюме. Если из условия стационарности определенного интеграла, содержащего не одну, а несколько неизвестных функций, требуется найти эти функции, то можно варьировать эти функции независимо друг от друга. Поэтому для каждой функции в отдельности можно написать дифференциальное уравнение Эйлера — Лагранжа. В результате получается система дифференциальных уравнений второго порядка. Решение этой системы уравнений определяет искомых функций, которые оказываются выраженными через независимую переменную (время констант интегрирования.