7. Философская оценка вариационного подхода в механике.

Хотя в наши дни существует молчаливое соглашение о том, что в научных трактатах следует избегать философских дискуссий, для вариационных принципов механики может быть сделано исключение, отчасти потому, что эти принципы были открыты в век, настроенный в высшей степени философски, а отчасти из-за того, что вариационный метод неоднократно оказывался в центре философских споров и недоразумений.

Действительно, идея о расширении существующей реальности путем включения «пробных» возможностей с последующим выделением одной из них при помощи условия, что она соответствует минимуму некоторой величины, как-будто вводит целенаправленность в поток природных явлений. Это находится в противоречии с обычным причинным описанием событий. Однако нас не должно удивлять, что для более универсального подхода, характерного для XVII и XVIII веков, эти две формы мышления не обязательно казались противоречивыми. Основным лейтмотивом всего этого периода была кажущаяся предустановленная гармония между «разумом» и «миром». Великие открытия в области высшей математики и их непосредственное применение к явлениям природы наполняли философов того времени неколебимой уверенностью в существенно интеллектуальной структуре мироздания. Поэтому deus intellectualis

был основной темой философии Лейбница не в меньшей степени, чем Спинозы. И хотя у Лейбница были сильны телеологические тенденции, его деятельность оказала не малое влияние на развитие вариационных методов 2. Это не покажется удивительным, если вспомнить, что чисто эстетический и логический интерес к задачам на максимум и минимум дал самый мощный толчок развитию исчисления бесконечно малых и что вывод законов геометрической оптики, сделанный Ферма на основе его «принципа наименьшего времени распространения», произвел неотразимое впечатление на философски настроенных ученых того времени. И не вина великих философов в том, что дилетантское злоупотребление этими тенденциями в теологических целях у Мопертюи и ему подобных привели к дискредитации всего направления.

Трезвый, практичный, прозаический девятнадцатый век, наследниками которого мы являемся, счел все спекулятивные тенденции и интерпретации «метафизическими» и ограничил свою программу чистым описанием явлений природы. В его философии математика играет роль стенографии, экономного, удобного языка для выражения существующих закономерностей. Поэтому не удивительна и вполне соответствует «позитивистскому» духу девятнадцатого столетия следующая оценка аналитической механики, встречающаяся у одного из сторонников этого направления Э. Маха («The Science of Mechanics», Open Court, 1893, p. 480): «Нельзя ждать фундаментальных результатов от этой ветви механики. Напротив, нужно совершенно покончить с открытиями различных принципов, прежде чем можно будет поставить вопрос об основах аналитической механики, единственной целью которой является совершенство практического искусства в решении задач. Тот, кто неправильно оценит эту ситуацию, никогда не сможет постичь сущность великих работ Лагранжа, дающих здесь по существу тот же эффект экономии». (Курсив в оригинале.) Согласно такой философии, вариационные принципы механики — не более,

чем другая математическая формулировка законов Ньютона, не содержащая ничего принципиально нового.

Однако философские направления появлялись и исчезали, а последнее слово в философии, конечно, не сказано. В наши дни мы явились свидетелями по крайней мере одного фундаментального открытия, имеющего беспрецедентное значение, — эйнштейновской общей теории относительности, открытия, ставшего возможным благодаря глубоким математическим и философским рассуждениям. Это открытие базируется на таких доводах, которые позитивист не приминул бы назвать «метафизическими», и все же они позволили проникнуть в сердце предмета, чего никогда нельзя было бы сделать простым экспериментированием и сухой регистрацией фактов. Общая теория относительности снова вызвала к жизни дух великих космических теоретиков древней Греции и восемнадцатого столетия.

В свете открытий теории относительности вариационные основы механики заслуживают большего, чем чисто формальной оценки. Это далеко не просто другая формулировка ньютоновых законов движения. Преимущества вариационного метода можно сформулировать в следующих пунктах.

1. Принцип относительности требует, чтобы законы природы формулировались в инвариантной форме, т. е. чтобы они не зависели от какой-либо специальной системы отсчета. Методы вариационного исчисления автоматически удовлетворяют этому требованию, потому что минимум скалярной величины не зависит от координат, в которых эта величина измеряется. В то время как ньютоновы уравнения не удовлетворяют принципу относительности, принцип наименьшего действия остается справедливым, с тем лишь дополнением, что основная величина «действия» должна быть приведена в соответствие с требованием инвариантности.

2. Общая теория относительности показала, что материя не может быть отделена от поля и в действительности порождается полем. Поэтому основные уравнения физики должны иметь вид уравнений в частных, а не в обыкновенных производных. В то время как картина ньютоновых частиц едва ли может быть приведена в согласие с концепцией поля, вариационные методы не ограничены механикой частиц

и могут быть распространены на механику непрерывных сред.

3. Если основное «действие» в вариационном принципе выбрано инвариантным относительно любых координатных преобразований, то принцип общей относительности удовлетворяется автоматически. Поскольку риманова дифференциальная геометрия доставляет нам подобные инварианты, можно без затруднений составить требуемые уравнения поля. Современная математика не дает какого-либо другого метода, при помощи которого можно было бы сформулировать ковариантную и в то же время совместную систему уравнений поля. Следовательно, в свете теории относительности применение вариационного исчисления при изучении законов природы не представляется случайным.