3. Теорема о сохранении энергии как следствие принципа Гамильтона.

Закон сохранения энергии, полученный раньше как следствие принципа Даламбера (см. гл. IV, п. 3), может быть теперь выведен из принципа Гамильтона. Попутно при этом выводе выясняются общие соотношения, существующие между полной энергией механической системы и функцией Лагранжа .

Используем снова тот частный способ варьирования, который мы применили раньше при выводе теоремы о сохранении энергии из принципа Даламбера. Пусть виртуальные перемещения в каждый момент времени совпадают с действительными перемещениями происходящими за бесконечно малый промежуток времени Другими словами, положим

Задача 1. Изобразить эту вариацию графически в плоскости направив ось вертикально вверх, и показать, что она сводится к горизонтальному сдвигу влево истинной кривой на величину При этом следует иметь в виду, что время в соответствии с обычными правилами не варьируется (см. гл. II, п. 8).

Выбранная нами вариация изменяет значения координат и на концах интервала поэтому здесь нельзя говорить о «вариации при фиксированных граничных значениях». Мы уже знаем, что уравнения движения получаются из принципа

при условии, что не варьируются в граничных точках. Посмотрим, однако, как будет себя вести вариация интеграла действия, если мы не выполним, условия варьирования при фиксированных граничных значениях, а проварьируем также и граничные значения координат. Из интегрирования по частям при преобразованиях вариации определенного интеграла [см. (2.10.4)] видно, что варьирование на концах интервала вызывает появление граничного члена. В результате получим

Перед тем как продолжить наши рассуждения, введем одно очень важное обозначение. Частные производные функции Лагранжа по скоростям играют столь существенную роль во всех выводах аналитической механики, что они имеют особое название и обозначение. Положим

и назовем эти компонентами «обобщенного импульса», потому что в случае одной свободной частицы при прямоугольной системе координат величины совпадают с соответствующими компонентами импульса . В общем случае компоненты не имеют ничего общего с элементарным определением импульса и должны рассматриваться как компоненты некоторого вектора в пространстве конфигураций. На фундаментальную важность величин как некой

новой системы независимых переменных обратил внимание Гамильтон; он построил всю свою теорию, исходя из того факта, что с импульсами можно оперировать, как с новой совокупностью механических переменных. Однако даже и уравнения Лагранжа будут выглядеть значительно проще, если мы используем в качестве промежуточных переменных и запишем уравнения движения в виде

Уравнение (5.3.3) при использовании обобщенных импульсов принимает вид

Для случая выбранной нами частной вариации (5.3.1) можно установить определенные соотношения между вариацией функции и истинным бесконечно малым изменением за время Предположим, что наша система склерономна, т. е. что не содержит явно времени (см. гл. I, п. 8)

Тогда сразу видно, что из условия (5.3.1) следует соответствующее уравнение для вариации функции

откуда следует, что

в то время как правая часть (5.3.6) принимает вид

Окончательно уравнение (5.3.6) записывается следующим образом:

Это означает, что величина имеет одно и то же значение в моменты времени Поскольку границы

интервала не входят явно в уравнения движения и могут быть выбраны произвольно, мы получаем

Эта фундаментальная теорема не предполагает каких-либо ограничений вида функции кроме требования ее независимости от времени Вместе с тем в приложениях вариационного исчисления в механике функция обычно встречается в форме , где функции определенного вида: представляет собой квадратичную форму скоростей [см. (1.5.16)]

где функции обычно вообще не зависит от скоростей. При этих условиях мы имеем

откуда

В результате уравнение (5.3.12) принимает вид

Это хорошо известный закон сохранения энергии.

Наш вывод показывает, что обычная формулировка теоремы о сохранении элергпи: «сумма кинетической и потенциальной энергий в процессе движения остается постоянной» справедлива лишь при определенных ограничивающих условиях. Недостаточно, чтобы система была склерономной. Необходимо, помимо этого, чтобы кинетическая энергия была квадратичной формой скоростей, а потенциальная энергия не содержала скоростей вообще. Встречаются, однако, механические системы с «гироскопическими членами», линейными относительно скоростей. Более того, в релятивистской механике кинетическая часть функции Лагранжа зависит от скоростей более сложным образом, чем в ньютоновой

механике. Подобные системы, если они склерономны, тоже удовлетворяют закону сохранения. Но этот закон принимает более общую форму (5.3.12), которая имеет место при любом виде функции Лагранжа.

Заметим, что в случае механической системы с одной степенью свободы теорема (5.3.12) приводит к полному интегрированию задачи. Уравнение (5.3.12) имеет при этом форму

откуда можно выразить

После интегрирования получаем

что дает нам как функцию Обратная функция определяет через с двумя константами интегрирования

Задача 2. Решить задачу о линейном осцилляторе

при помощи теоремы о сохранении энергии.

Задача 3. Решить задачу о физическом маятнике, приведенную в п. 2, задача 1. (Здесь квадратура приводит к эллиптическому интегралу.)

Величину

можно интерпретировать как «полную энергию» механической системы. Наряду с функцией Лагранжа она является наиболее важным скаляром, характеризующим механическую систему. Как мы увидим ниже, в гамильтоновой форме механики эта функция отбирает первенство у функции Лагранжа выраженная в соответствующих переменных, превращается в «функцию Гамильтона» , которая полностью заменяет первоначальную функцию

Интересно выяснить, что происходит с полной энергией А в случае, когда система реономна, т. е. зависит явно

от времени

В этом случае и уже не равны между собой, потому что вариация производится в определенный момент времени, а изменение происходит за интервал времени Вместо (5.3.8) получается более общее соотношение

а уравнение (5.3.11) обобщается следующим образом:

Отсюда видно, что полная энергия теперь не является константой, а изменяется по закону

Задача 4. Математический маятник свисает с неподвижного блока. Другой коней, нити находится в руках наблюдателя, который ее медленно выбирает, укорачивая таким образом длину маятника с постоянной скоростью (маятник Эренфеста). Пренебрегая трением, показать, что амплитуда колебаний увеличивается таким образом, что изменение полной энергии от одного положения до следующего положения задается выражением

где постоянная энергии невозмущенного маятника.

Резюме. Для склерономных систем уравнения движения Лагранжа дают первый интеграл в форме Это уравнение можно интерпретировать как закон сохранения энергии, если определить левую часть уравнения как полную энергию системы. Для обычных задач классической механики сумма равна удвоенной кинетической энергии; в этом случае теорема о сохранении энергии принимает форму