10. Вывод условий стационарности определенного интеграла методами вариационного исчисления.

Рассмотрим еще раз задачу из п. 7, но на этот раз непосредственно методом вариационного исчисления. Пусть требуется найти стационарное значение некоторого определенного интеграла (2.7.5) с граничными условиями (2.7.6).

Для решения этой задачи рассмотрим скорость изменения данного интеграла при варьировании функции Начнем с варьирования самой подинтегральной функции происходящего при варьировании у (напомним, что F - заданная функция трех переменных которая не меняется в процессе варьирования)

Высшими членами разложения Тейлора можно пренебречь, так как стремится к нулю.

Теперь можно вычислить вариацию определенного интеграла (2.7.5)

Чтобы получить «скорость изменения» нашего интеграла, нужно разделить (2.10.2) на бесконечно малый параметр подобно тому, как мы это делали в п. 2, когда искали стационарное значение обычной функции Следовательно, величиной, которая должна обратиться в нуль при стационарном значении интеграла является выражение

Выражение в такой форме не годится для дальнейшего анализа, потому что взаимосвязаны и в то же время эту взаимосвязь нельзя записать в алгебраической форме. Эту трудность можно обойти путем искусного применения интегрирования по частям. Вторая часть подинтегрального выражения (2.10.3) преобразуется следующим образом:

Первый член выпадает, так как мы варьируем при фиксированных граничных значениях и обращается в нуль в точках . В результате (2.10.3) приобретает вид

Введем для краткости следующее обозначение:

и запишем условие стационарности I в виде

Теперь нетрудно видеть, что этот интеграл может обратиться в нуль при произвольной функции только в том случае, если тождественно равна нулю в интервале

(a, b). Действительно, мы можем выбрать функцию таким образом, чтобы она обращалась в нуль везде, кроме произвольно малой окрестности точки Внутри этого интервала практически равна константе и может быть вынесена из-под знака интеграла 1

Совершаемая при этом ошибка стремится к нулю при стремящемся к нулю. Так как интеграл в (2.10.8) находится в нашем распоряжении и может быть сделан отличным от нуля, для обращения в нуль требуется, чтобы был равен нулю первый множитель. Точка может быть выбрана в любом месте интервала Следовательно, во всем интервале справедливо уравнение

Это условие необходимо для обращения в нуль . С другой стороны, оно является и достаточным, так как если подинтегральное выражение в (2.10.5) обращается в нуль, то и интеграл обращается в нуль. Таким образом, дифференциальное уравнение (2.10.9) является необходимым и достаточным условием стационарности интеграла I при граничных условиях (2.7.6).

Задача. Пусть задан определенный интеграл

содержащий первую и вторую производные у. Найти для него условие стационарности, образуя вариации интеграла и двукратно применяя интегрирование по частям. Должно получиться дифференциальное уравнение

Член, получающийся при интегрировании

обращается в нуль, если значения фиксированы в конечных точках интервала.

Резюме. Необходимым и достаточным условием стационарности интеграла

с граничными условиями является выполнение дифференциального уравнения Эйлера — Лагранжа