5. Механика одной частицы.

Вариационные принципы механики позволяют написать уравнения движения произвольной механической системы, если только задана одна фундаментальная величина — «функция Лагранжа» . В ньютоновой механике пространство и время существуют обособленно, и время служит при этом независимой переменной. В теории относительности это уже не так. Время теперь не более чем одна из координат, равноценная трем пространственным координатам. Физические события происходят в четырехмерном мире, который имеет определенную метрику. Согласно требованиям, вытекающим из этой метрики, в четырехмерном мире не должно существовать предпочтительного направления. Уравнения, приводящие к такому привилегированному направлению, противоречат принципу относительности и должны быть отброшены либо исправлены таким образом, чтобы в конечном счете они отразили надлежащую метрическую структуру физического мира.

Существование функции Лагранжа сильно облегчает эту задачу. Если функция Лагранжа является истинным скаляром четырехмерного мира (т. е. величиной, инвариантной относительно произвольного преобразования Лоренца, или, иначе говоря, «лоренц-инвариантом»), то и полученные из этой функции уравнения будут корректными с релятивистской точки зрения — тоже будут «лоренц-инвариантами».

Мы уже знаем, как решаются динамические задачи в ньютоновой механике с помощью функции Лагранжа [см. (5.1.7)], где кинетическая, а V — потенциальная энергия системы. Ограничимся изучением одной частицы, характеризуемой массой и положением. Кинетическая энергия

ответственная за инерцию частицы, могла рассматриваться как истинный скаляр ньютонова мира. Однако в объединенном пространственно-временном мире она уже не является скаляром. Здесь движение частицы может быть изображено при помощи линии в четырехмерном пространстве, называемой «мировой линией». Ее линейный элемент задается выражением

В этом представлении скорость частицы определяется касательной к мировой линии. Эта касательная является вектором с четырьмя компонентами

Связь этого вектора с нашими обычными представлениями станет ясной, если учесть необычайно большую величину скорости света по сравнению с обычными скоростями в ньютоновой механике. Линейный элемент (9.5.2) может быть записан в форме

Следовательно, замена на приводит лишь к очень малой ошибке. В частности, с чрезвычайно высокой степенью точности можно положить

откуда

Тот факт, что первый член в правой части выражения (9.5.6) не проявляется при обычных обстоятельствах (несмотря на огромную константу объясняется необычайно высокой стабильностью массы Если - константа, то вариация первого члена равна нулю и может быть опущена.

Мы приходим, таким образом, к выводу, что для получения релятивистски инвариантного интеграла действия кинетическую часть интеграла

следует заменить на

Из такой формы инертного члена в интеграле действия вытекает ряд важных следствий. Выберем время в качестве независимой переменной, тогда функция Лагранжа в интеграле действия (9.5.8) принимает вид

при этом координаты х, у, z рассматриваются как динамические переменные Из общих принципов вариационного метода в механике [см. (5.3.4)] известно, что «импульсы» механической системы могут быть определены как частные производные по Следовательно,

или, в векторной форме,

Таким образом, поправка к ньютонову определению импульса оказывается очень небольшой для малых скоростей. Вместе с тем она приобретает решающее значение при скоростях, близких к скорости света.

Следующей важной величиной является энергия системы. В соответствии с (5.3.12) она может быть определена при помощи функции Лагранжа

В рассматриваемом случае имеем

Этот знаменитый результат Эйнштейна представляет собой одно из наиболее важных открытий теоретической физики. В ньютоновой физике кинетическая энергия частицы фигурировала в виде это означало, что масса приобретает энергию только при движении. Новое уравнение (9.5.13) ставит рядом с ньютоновым членом огромную величину демонстрируя тем самым, что масса является носителем громадного количества энергии, связанной лишь с фактом самого существования этой массы. По сравнению с ней обычная кинетическая энергия в большинстве случаев пренебрежимо мала. В связи с тем что различные формы энергии могут довольно легко переходить одна в другую, на горизонтах науки появилась возможность перевода и этой новой формы энергии в другие формы. Успех в деле создания атомной бомбы трагически подтвердил этот вывод теории относительности.

Поскольку переход вещества в энергию приводит к выделению приближенно энергии или или 25 млн. квт-ч, или 21500 млн. ккал.

Еще один важный вывод можно сделать с помощью канонического подинтегрального выражения [см. (6.4.3)], переписанного в математических координатах

Четыре компоненты -импульса должны иметь инвариантный характер, являясь компонентами некоторого -вектора. Действительно, из (9.5.11) и (9.5.13) получаем

откуда видно, что четырехмерный вектор (9.5.3), касательный к мировой линии частицы, но умноженный на постоянную

Мы видим, что два ньютоновых понятия: импульса и энергии, существовавшие в ньютоновой физике совершенно порознь, в релятивистской физике оказываются неразделимыми; компоненты импульса (деленные на ) вместе с энергией (деленной на с) являются компонентами -вектора в пространственно-временном мире Минковского.

В литературе по теории относительности часто уравнение (9.5.11) пишут в виде

и интерпретируют величину

как «релятивистскую массу» частицы, изменяющуюся со скоростью и растущую до бесконечности при стремлении к скорости света. Это полезно для демонстрации того факта, что конечная сила не может ускорить материальное тело до скорости света, потому что инертность тела бесконечно возрастает при приближении у к с. Однако в действительности наличие множителя в знаменателе связано с потому что нам приходится дифференцировать по длине дуги имеющей инвариантный смысл, а не по переменной времени которая теперь не более чем одна из координат. Вместо длины дуги можно ввести более физическую величину, определив понятие «собственного времени» частицы. Под этим подразумевается время, измеряемое часами, движущимися вместе с частицей, а потому связанными с ее мировой линией. Обозначив это собственное время через а, имеем

так как часы находятся в системе отсчета, в которой частица покоится. Отсюда получаем

Условимся определять скорость как быстроту изменения положения частицы, измеряемую с помощью собственного времени частицы. Тогда определение импульса (9.5.11) превратится в

снова приняв вид ньютонова определения.