4. Отображение пространства самого на себя.

От обобщенных координат

требуется лишь, чтобы они полностью определяли положение системы. Поэтому в качестве обобщенных координат можно выбрать, вообще говоря, и другую совокупность параметров

Между этими двумя совокупностями координат должны существовать функциональные соотношения вида

Функции должны удовлетворять обычным условиям регулярности. Они должны быть ограниченными, однозначными, непрерывными и дифференцируемыми функциями с якобианом А, отличным от нуля.

Дифференцирование уравнений (1.4.3) дает

Отсюда видно, что независимо от вида функциональных соотношений между двумя системами координат связь между их дифференциалами всегда линейна.

Рис. 1.

С этим «преобразованием координат» можно связать определенную геометрическую картину. Пусть так же, как и прямоугольные координаты в -мерном пространстве. Будем рассматривать точки в -пространстве и точки в -пространстве. Некоторой точке в -пространстве соответствует определенная точка -пространстве. Поэтому преобразование вида (1.4.3) называется «точечным преобразованием». В некоторой области точки -пространства находятся во взаимно однозначном соответствии с точками -пространства. Мы имеем, таким образом, «отображение» -мерного пространства самого на себя. Это отображение не только удовлетворяет обычным требованиям взаимно однозначного соответствия. Сохраняется непрерывность. Окрестность точки отображается в окрестность точки и наоборот. Можно утверждать даже большее. Прямая линия в -пространстве не остается прямой в -пространстве. Однако по мере уменьшения размеров области соотношения

все более и более приближаются к линейным. В бесконечно малой окрестности точки прямые линии переходят в прямые, а параллельные линии — в параллельные, хотя длины и углы не сохраняются. Малый параллелепипед в окрестности точки отображается в малый параллелепипед в окрестности точки Р. Якобиан А является как раз детерминантом системы линейных уравнений (1.4.4). Геометрически этот детерминант равен отношению объема нового параллелепипеда к объему первоначального. Отличие А от нуля эквивалентно требованию, чтобы полная окрестность отображалась в полную окрестность что действительно необходимо для существования взаимно однозначного соответствия. Если А равен нулю, то -мерная область в окрестности отображается в область меньшего числа измерений в окрестности в результате для некоторых точек окрестности нет соответствующих отображений, а для других точек таких отображений бесконечное множество.

Физической моделью подобного отображения пространства самого на себя является движение жидкости. Если пометить частицы жидкости и зафиксировать их положения в два различных момента времени, то соответствующие положения этих частиц и дадут отображение пространства самого на себя. Если выделить в жидкости малый параллелепипед, то, несмотря на искажения его углов и длин при движении жидкости, он будет оставаться параллелепипедом. Если к тому же жидкость несжимаема, то объем этого параллелепипеда будет сохраняться. Аналитически движение такой жидкости соответствует преобразованию координат с якобианом, всюду равным единице.

Резюме. Ввиду произвола в выборе координат одна система обобщенных координат может быть заменена другой. Это «преобразование координат» может мыслиться геометрически как отображение n-мерного пространства самого на себя. Отображение не сохраняет углов и расстояний. Прямые линии преобразуются в кривые, однако в бесконечно малой области, в окрестности некоторой точки, отображение «выпрямляется»: прямые линии переходят в прямые, параллельные — в параллельные, и сохраняется отношение объемов.