5. Билинейная дифференциальная форма.

В любой теории преобразований имеются основные величины, которые при преобразовании не меняются. Они являются основными инвариантами, которые определяют собой природу преобразования. Начав изучать канонические преобразования, мы установили инвариантность дифференциальной формы откуда следовала инвариантность канонических уравнений. Однако затем выяснилось, что канонические уравнения остаются инвариантными и при более общих условиях. Необходимое и достаточное условие каноничности

преобразования было сформулировано в такой форме: разность двух дифференциальных форм должна быть полным дифференциалом 65 некоторой функции При этом возникает вопрос, что же в действительности является основным инвариантом канонических преобразований.

Эта задача тесно связана с вопросом о геометрической структуре фазового пространства. Мы уже видели, как помогло динамической теории введение определенной геометрической структуры лагранжевого пространства конфигураций. Там был введен риманов линейный элемент квадрат которого задавался в виде некоторой квадратичной дифференциальной формы переменных Величина была одновременно основным инвариантом лагранжевого точечного преобразования и тем бесконечно малым расстоянием, которое — при соответствующем выборе граничных условий — определяло геометрическую структуру пространства конфигураций.

Можно ли ввести что-нибудь подобное в гамильтоновом фазовом пространстве? Имеются ли какие-либо инвариантные дифференциальные формы, которые могли бы в нем играть роль формы как в лагранжевом пространстве конфигураций? Такая дифференциальная форма, связанная с каноническими преобразованиями и инвариантная при этих преобразованиях, действительно существует, хотя она и отличается принципиально от римановой формы Она также квадратична относительно дифференциалов, но связана при этом с двумя перемещениями и не имеет ничего общего с расстоянием. Геометрия фазового пространства имеет, таким образом, необычную метрику. Она похожа скорее на некую геометрию, в которой могут измеряться не расстояния, а площади. Поскольку основной дифференциальный инвариант канонических преобразований линеен по каждому из двух бесконечно малых перемещений, мы будем называть его «билинейной дифференциальной формой». На основе этой инвариантной дифференциальной формы может быть построена полная теория канонических преобразований.

Дифференцнальная величина

напоминает работу моногенной силы. Такая работа является полным дифференциалом некоторой функции, из которой может быть получена и сама сила. Желая проверить, является ли данная сила моногенной, мы прилагали ее к какой-нибудь частице, перемещающейся по произвольной замкнутой траектории. Равенство нулю полной работы силы вдоль любой замкнутой траектории означало моногенность силы, противное свидетельствовало о ее полигенности.

Рис. 9.

Подобный критерий может быть применен и к дифференциальной форме (7.5.1). Проинтегрируем (7.5.1) вдоль любой замкнутой кривой в фазовом пространстве. Тогда в левой части мы получим два криволинейных интеграла, поскольку каждая -точка связана преобразованием с соответствующей -точкой. Интеграл в правой части обращается в нуль. Следовательно, мы получаем принцип инвариантности, в котором уже отсутствует неопределенная функция

Для любой замкнутой кривой в фазовом пространстве можно записать «циркуляцию» и эта циркуляция инвариантна при произвольном каноническом преобразовании.

Вместо того чтобы проводить исследование -мерного фазового пространства, можно сделать определение циркуляции наглядным, перейдя в пространство -переменных и введя в каждой точке величины в виде компонент вектора. Произвольная замкнутая кривая в фазовом пространстве

переходит в таком представлении в какую-то замкнутую кривую в -пространстве, в каждой точке которой задан вектор, непрерывно меняющийся при движении вдоль кривой (см. рис. 9).

Уравнение (7.5.2) характеризует каноническое преобразование с помощью интегрального инварианта. Покажем теперь, как этот интегральный инвариант может быть преобразован в дифференциальный инвариант. С этой целью будем считать заданную замкнутую кривую границей какой-то двумерной области Предположим, что в каждой точке этой области задан вектор и что каждую точку мы аналитически характеризуем при помощи двух «гауссовых криволинейных координат»

Параметрические линии и образуют плотную сетку линий. Вместо того чтобы двигаться вдоль гладкого контура будем перемещаться вдоль зигзагообразной линии образованной из бесконечно малых участков параметрических линий (см. рис. 10). В пределе, когда сетка параметрических линий становится сколь угодно плотной, циркуляция вдоль зигзагообразной линии как угодно близко приближается к циркуляции, взятой вдоль гладкого контура

Заметим, что циркуляцию можно вычислять двумя способами. Можно двигаться вдоль самого контура, как мы это делали раньше. Однако можно также двигаться и вдоль всех многочисленных маленьких параллелограммов, образованных двумя семействами параметрических линий Конечный результат будет тем же самым, поскольку вклады от внутренних участков выпадают, потому что каждый из таких участков проходится дважды в противоположных направлениях. Вклад от внешних участков остается прежним. Это приводит к переходу от линейного интеграла к поверхностному интегралу.

Пусть произвольная функция, заданная в области Обозначим через изменение связанное с изменением одного лишь V, при постоянном и

Рис. 10.

Аналогично через обозначим изменение связанное с изменением одного лишь и, при постоянном

Для циркуляции вдоль бесконечно малого параллелограмма, образованного параметрическими линиями, можно написать

Мы получили следующее важное преобразование линейного интеграла в поверхностный интеграл:

Задача. Применив теорему (7.5.7) к трехмерному случаю показать, что она сводится к интегральному преобразованию, известному под названием «теорема Стокса». Интегральное преобразование (7.5.7) обобщает теорему Стокса на любое число измерений. Отметим, что эта теорема не зависит от каких-либо специальных метрических свойств пространства.

С помощью этого преобразования инвариантность циркуляции может быть представлена в другом виде. Циркуляция может быть записана в виде поверхностного интеграла, распространенного на область . Поскольку эта область совершенно произвольна, из инвариантности следует инвариантность подинтегрального выражения

Это в свою очередь эквивалентно инвариантности дифференциальной формы

которую можно связать с любыми двумя независимыми бесконечно малыми перемещениями в фазовом пространстве. Это и есть «билинейная дифференциальная форма», инвариантность которой является необходимым и достаточным условием канонического преобразования. Производящая функция исключена из этого условия. В действительности определение канонического преобразования при помощи -функции может рассматриваться как интегральная форма того утверждения, что билинейная дифференциальная форма является определяющим инвариантом канонического преобразования.

Резюме. Условие того, что преобразование является каноническим, может быть сфомулировано без помощи производящей функции Характерным свойством канонических преобразований является инвариантность циркуляции вдоль любой замкнутой кривой в фазовом пространстве. Это же самое свойство может быть представлено в дифференциальной форме. Мы получаем определенное дифференциальное выражение, «билинейную дифференциальную форму», инвариантную относительно канонических преобразований. Эта билинейная дифференциальная форма аналогична величине в метрической геометрии. Однако в то время, как линейный элемент соответствует одному бесконечно малому перемещению, билинейный дифференциал соответствует двум бесконечно малым перемещениям. Поэтому он скорее подобен элементу площади, а не элементу расстояния.