2. Теория преобразований Якоби

Рассмотрим консервативную механическую систему с заданной функцией Гамильтона , не зависящей от времени Преобразуем механические переменные в новую совокупность переменных с помощью некоторого канонического преобразования. При этом наложим лишь одно условие, а именно чтобы в качестве одной из переменных, например была взята функция .

Остальные уравнений преобразования произвольны, с тем лишь ограничением, что преобразование должно быть каноническим.

Предположим, что мы сумели найти такое преобразование. Тогда канонические уравнения в новой системе координат легко проинтегрировать. Поскольку функция Гамильтона инвариантна относительно канонического преобразования, в новой системе функция Гамильтона равна Это означает, что в новой системе координат все переменные циклические и можно произвести полное интегрирование уравнений движения. Первая группа уравнений

сразу же дает

Последний индекс мы выделили, потому что константа, связанная с имеет особый смысл; она представляет собой постоянную энергии

Из второй группы уравнений

получаем

в то время как последнее уравнение дает

Геометрически это решение канонических уравнений можно интерпретировать следующим образом. Первоначальные мировые линии движущейся фазовой жидкости образуют бесконечное семейство кривых и заполняют все фазовое пространство. Интересующее нас каноническое преобразование производит такое отображение пространства самого на себя, которое выпрямляет эти мировые линии, превращая их в бесконечное множество параллельных прямых линий, наклоненных под углом 45° к оси времени t.

Рис. 11.

Замечательным свойством этого преобразования является тот факт, что выпрямление искривленных мировых линий фазовой жидкости и превращение их в прямые параллельные линии происходит автоматически при переходе цилиндрических поверхностей в параллельные плоскости .

Таким образом, первоначальная задача интегрирования свелась к нахождению канонического преобразования, удовлетворяющего единственному условию (8.2.1). Это условие требует, чтобы в новых переменных функция Гамильтона была равна

Сразу решить эту задачу в явном виде невозможно, потому что мы не умеем получать каноническое преобразование, выражающее через Поэтому введем промежуточную ступень. Вместо того чтобы сразу ввести новые переменные сначала введем лишь сохранив старые и исключив Потом мы исключим также и .

Первый шаг может быть выполнен в явном виде, потому что имеется формула

выражающая через Подставив эти выражения в получим функцию Гамильтона, зависящую от

Предположим теперь, что в результате этой операции функция Гамильтона стала равной

Здесь вообще отсутствуют. Поэтому второй шаг, исключение может быть опущен, так как наша задача выполнена.

Уравнение (8.2.7) является дифференциальным уравнением в частных производных с неизвестной функцией Недостаточно найти какое-нибудь решение этого дифференциального уравнения. Для того чтобы могла быть производящей функцией, она должна иметь вид

Однако все кроме в дифференциальное уравнение не входят. Они являются просто параметрами. С точки зрения интегрирования (8.2.7) первые переменных играют роль постоянных интегрирования.

Согласно общей теории, решение, содержащее произвольные константы в количестве, равном количеству переменных, называется «полным интегралом». В данном случае

число переменных и полное решение должно содержать констант интегрирования. Однако в действительности одна из констант выпадает.

Поскольку сама функция не входит в дифференциальное уравнение, а входят только ее частные производные, решение определяется с точностью до аддитивной постоянной. Эта постоянная, однако, не входит в каноническое преобразование и поэтому она с самого начала может быть опущена. Оставшиеся константы можно отождествить с

В результате процесс определения функции 5 протекает следующим образом. Находится какой-либо полный интеграл уравнений (8.2.1) с существенными постоянными интегрирования

Эти постоянные заменяются переменными Проделав это, мы тем самым определяем общее решение канонических уравнений движения. Уравнения

определяют в явном виде переход от После разрешения этих уравнений относительно переменных последние могут быть записаны как функции

Все значения новых координат известны: они записаны в решении (8.2.2-8.2.5). Подставив их в выражения (8.2.11), получим в виде явных функций времени констант интегрирования

Задача. В случае одной степени свободы уравнение в частных производных (8.2.7) сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению и решается в квадратурах. Рассмотреть задачу о линейном осцилляторе

Решив дифференциальное уравнение Гамильтона — Якоби, получить следующее каноническое преобразование:

Эллипсы первоначальной системы координат преобразуются в новой системе в прямые линии Как известно, при каноническом преобразовании пары переменных сохраняется площадь. Как же может эллипс, ограничивающий определенную площадь, преобразовываться в прямую линию? Разрешение этого кажущегося противоречия заключается и неоднозначности преобразования. Для того чтобы сделать преобразование однозначным, ограничим областью от 0 до и разрежем плоскость вдоль оси Тогда эллипс нельзя замкнуть способом, отличным от показанного на рис. 12. Соответствующей фигурой в преобразованной системе отсчета является заштрихованный прямоугольник, который действительно имеет ту же площадь, что и первоначальный эллипс.

Рис. 12.

Подытоживая сказанное с точки зрения решения канонических уравнений, заметим, что нет необходимости сначала заменять константы интегрирования переменными а затем снова константами. Аналогично, переменная может быть сразу отождествлена с постоянной энергии Вся формальная сторона решения может быть сформулирована в виде следующего рецепта.

1. Записать уравнение энергии

2. Заменить частными производными некоторой функции по переменным

3. Найти какой-либо полный интеграл с существенными постоянными интегрирования

4. Записать уравнения

5. Решить эти уравнения относительно получив

что и является искомым решением.

Перейдем теперь к общему случаю реономной системы, не удовлетворяющей закону сохранения энергии. В соответствии с изложенным раньше методом результаты, полученные для консервативных систем, всегда могут быть обобщены, если включить время в число позиционных координат и рассматривать задачу как консервативную, но в расширенном фазовом пространстве.. Имеется канонический интеграл

для которого требуется найти условия стационарности при следующем дополнительном условии:

Предположим, что мы применили какое-то каноническое преобразование, удовлетворяющее всего лишь одному условию, а именно: одно из уравнений преобразования имеет форму

Тогда в новой системе координат дополнительное условие принимает вид

и канонический интеграл сводится к интегралу

без каких бы то ни было дополнительных условий. Это приводит к тому, что все и оказываются константами

Опять канонические уравнения в новой системе координат получаются чрезвычайно легко, причем результат оказывается даже более симметричным, чем раньше, потому что все переменные находятся теперь в равном положении.

Условие (8.2.16) эквивалентно решению уравнения в частных производных

Поэтому снова ищется какой-либо «полный интеграл», содержащий констант интегрирования которые отождествляются с переменными Более того ввиду дополнительного условия (8.2.17) переменная при движении, осуществляющемся в действительности, тождественно равна нулю, и мы можем подставить это ее значение заранее. Вспомнить, что связь между К и обычной

функцией Гамильтона имеет вид получим уравнение в частных производных

Это и есть дифференциальное уравнение в частных производных Гамильтона — Якоби, полученное теперь для произвольных реономных систем.

Замечательная особенность этого метода заключается в том, что каноническое преобразование, выпрямляющее «изоэнергетическую поверхность» в плоскость преобразует также все линии тока движущейся фазовой жидкости в параллельные прямые линии.

Цепь наших рассуждений, приведшая к распространению свойств консервативных систем на произвольные реономны? системы, основывалась на добавлении к фазовому пространству двух новых измерений: Можно действовать и другим методом, оставляя время независимой переменной и сохраняя обычное фазовое пространство. Можно рассмотреть каноническое преобразование не вводя время в число активных переменных преобразования. Время входит в лакое преобразование только как параметр, т. е. уравнения преобразования, связывающие старые и новые переменные, непрерывно меняются. При таком зависящем от времени каноническом преобразовании функция Гамильтона Я не является инвариантной. Как видно из уравнения (7.4.13), функция Гамильтона Я для новой системы координат равна

Теперь можно потребовать, чтобы

Это дает в точности условие (8.2.21), т. е. дифференциальное уравнение в частных производных Гамильтона — Якоби. Оно интерпретируется теперь как условие того, что функция Гамильтона переводится в нуль при помощи зависящего

от времени канонического преобразования. Если функция Гамильтона в новых переменных равна нулю, то из канонических уравнений сразу следует, что в процессе движения все постоянны. Мы возвратились таким образом к прежнему методу интегрирования, хотя и пришли к нему несколько иным путем.

Еще раз сформулируем результаты теории преобразований в виде «рецепта», излагающего формализм интегрирования (но пусть те, кто понял лишь этот рецепт, не думают, что они постигли всю теорию Гамильтона — Якоби.)

1. Получить произвольный полный интеграл уравнения в частных производных (8.2.21), т. е. решение, содержащее существенных постоянных интегрирования

2. Приравнять частные производные по этим константам интегрирования новым константам

3. Разрешив эти уравнения относительно позиционных координат записать их в форме

Этот процесс приводит к полному решению задачи интегрирования, так как в результате механические переменные оказываются полученными в виде явных функций времени констант интегрирования, которые могут быть выбраны в соответствии с произвольными начальными условиями.

Задача. Предположим, что Н не зависит от и положим

Показать, что общий процесс, примененный к функции взятой втакой форме, приводит снова к обсуждавшемуся ранее методу интегрирования, который справедлив для консервативных систем.

Резюме. Вместо того чтобы пытаться непосредственно интегрировать канонические уравнения, мы можем применить процесс преобразования. При этом для консервативной системы отыскивается каноническое преобразование, переводящее функцию Гамильтона в одну из новых переменных. Для реономной системы ищется зависящее от времени каноническое преобразование, преобразующее И в нуль. В обоих случаях найденное преобразование решает задачу о движении, так как в новой системе координат канонические уравнения могут быть непосредственно проинтегрированы. Для нахождения искомого преобразования и его выполнения нужно найти какое-либо полное решение уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби.