2. Релятивистская кинематика.

В своей основной статье Эйнштейн ввел два следующих постулата:

а) Все системы отсчета, движущиеся с постоянной скоростью одна относительно другой, одинаково приемлемы для описания природы, так что ни одной из них нельзя отдать предпочтение.

б) Скорость света с во всех этих системах остается одной и той же универсальной постоянной.

Второй постулат приводит к следующему кажущемуся противоречию. Пусть наблюдатель В движется относительно А со скоростью света с. Он дает световой сигнал в направлении своего движения, и этот сигнал движется относительно него со скоростью с. Тогда, в соответствии с нашими обычными представлениями, скорость сигнала относительно должна была бы быть в то время как второй постулат требует, чтобы она была равна с. Получается абсурдное равенство Противоречие, однако, устранится, если мы расстанемся с нашим представлением о том, что время одно и то же для наблюдателей

Согласно Эйнштейну, мы ничего не должны предрешать заранее в уравнениях преобразования, связывающего координаты

системы А и системы В. Предполагая, что движение В относительно происходит в направлении X, положим

где — константы, поскольку мы хотим сохранить линейность преобразования. Отказавшись от уравнения (что соответствовало бы выбору мы получили новые возможности в связи с появлением двух дополнительных констант.

Все формулы специальной теории относительности сильно упростятся, если мы договоримся измерять время в таких единицах, чтобы скорость света была равна единице (для этого нужно обычное время заменить на Для того чтобы вернуться к формулам, в которые входит наше обычное время мы должны просто заменить везде на на Мы будем часто пользоваться этим упрощением, а потому условимся, что инвариантное значение скорости света имеет численное значение

Пусть координаты системы, связанной с наблюдателем А, а координаты, связанные с наблюдателем В. Точки системы В измеряемые из А, движутся со скоростью При фиксированном это означает, что

и потому

Согласно второму постулату, если то Действительно, если А обнаруживает, что сигнал распространяется относительно него со скоростью света (равной единице), то В должен обнаружить это же соотношение в своей системе. Это приводит к соотношению

Однако свет может распространяться и в противоположном направлении: что должно соответствовать

равенству Отсюда получается новое соотношение

Как результат этих соотношений можно положить

где константа еще не определена.

Можно, однако, обратить это преобразование, выразив координаты через

Теперь можно использовать факт равноправия систем Естественно, следует заменить на , потому что если система В движется относительно А со скоростью и, то система А движется относительно В со скоростью Однако никакие другие замены не допустимы, поскольку системы должны быть полностью эквивалентными. Это дает

откуда определяется константа

Таким образом, мы получили соотношения между координатами двух систем

К этим уравнениям следует добавить

поскольку нет оснований предполагать, что движение вдоль направления окажет влияние на координаты

Сложение скоростей. Рассмотрим сигнал, распространяющийся со скоростью и в системе В, так что

Тогда

и скорость сигнала, измеренная наблюдателем А, оказывается равной

в отличие от ньютонова уравнения, согласно которому Это и есть знаменитая теорема Эйнштейна о сложении скоростей.

Если сигнал распространяется в системе В перпендикулярно оси

откуда

Это не означает, что сложение векторов по обычному правилу параллелограмма более не справедливо. Правило параллелограмма не применимо только тогда, когда мы хотим сложить два вектора, измеренные в двух различных системах отсчета.

В опыте Физо свет распространялся в воде со скоростью

(n - коэффициент преломления), в то время как скорость воды равнялась Результирующая скорость света, измеренная в лабораторной системе координат, становится равной

Ввиду малости можно положить пренебрегая величинами второго порядка малости относительно V, получим

Этот результат полностью согласуется с экспериментальными фактами и совпадает с «коэффициентом увлечения» Френеля.

Аберрация света. Рассмотрим луч света, испускаемый в системе В в направлении, образующем угол с осью х. Для него

Подставив в (9.2.9), получим

откуда

В обычных астрономических задачах последний множитель близок к единице; поэтому можно считать, что

Поэтому направление, под которым видна звезда, из-за движения Земли изменяется практически так же, как это получается из элементарного сложения векторов (для длины результирующего вектора это не справедливо: она остается равной с, а не

Эффект Допплера. Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся в системе В под углом к оси Представим ее с помощью волновой функции

Воспользовавшись формулами преобразования (9.2.9), получим ту же самую волну, но измеренную в системе А

где

Поэтому

и, подставляя в (9.2.25), получаем

что с точностью до величин первого порядка совпадает с обычным выражением

Однако релятивистская формула (9.2.28) показывает, что даже световой луч, приходящий от источника, движущегося перпендикулярно направлению луча испытывает небольшое красное смещение. Этот так называемый «поперечный эффект Допплера» был исследован экспериментально, и было показано полное совпадение результатов измерений с предсказаниями теории

Парадокс часов. Одним из парадоксов теории относительности, породившим поток статей в полунаучных журналах (вышедших из-под пера менее чем пол у компетентных авторов), был так называемый «парадокс часов». На него впервые обратили внимание около 1918 г., и он был

полностью проанализирован и разъяснен Эйнштейном. Из уравнений преобразования (9.2.9) следует, что наблюдатель из системы В, сравнивая показания своих часов с показаниями часов из системы обнаружит, что часы в системе А идут быстрее. (Это не вызывается реальным изменением скорости работы часов, о чем свидетельствует тот факт, что наблюдатель из системы А обнаружил бы то же самое, если бы сравнил свои часы с часами из системы В.) При относительной скорости близкой к скорости света, может случиться так, что собственные часы наблюдателя В регистрируют интервал времени, скажем, в 1 сек, а часы из системы А регистрируют интервал времени в 1 год. Это же можно пояснить в другой форме. Предположим, что человек находится в снаряде, которым выстрелили из пушки, так что он движется по направлению к звезде Сириус со скоростью, близкой к скорости света, а затем с такой же скоростью движется обратно к Земле. Пусть он вернулся на место старта, скажем, через 16 сек по своим часам — конечно, совсем не постарев, — между тем как жители Земли успели постареть на 16 лет. Хотя этот результат и кажется в высшей степени парадоксальным, если исходить из соображений «здравого смысла» — кстати, основанных на неверном предположении об абсолютном времени, — в нем еще не содержится никаких внутренних противоречий. Человек, летящий к Сириусу и обратно, движется по совершенно иным участкам пространственно-временного континуума, чем жители Земли, так что нет никаких причин, по которым они должны были бы постареть одинаково.. Предполагаемый же «парадокс» становится ясным из следующей кинематической формулировки этого предполагаемого эксперимента. А говорит: «Я вижу В, движущегося направо со скоростью и возвращающегося с той скоростью обратно». Наблюдения В за движением А будут точно теми же самыми, с той лишь разницей, что «право» заменится на «лево». Почему же возникает асимметрия в старении ? В действительности при таком чисто кинематическом описании событий теряется одно существенное обстоятельство, так что это описание физически неполно. Если оба наблюдателя будут иметь при себе акселерометры, то акселерометр

все время будет стоять на нуле, а у В он покажет очень большой сигнал в тот момент, когда В достигнет Сириуса и повернет обратно. Следовательно, физические состояния у совершенно различны, так что принцип симметрии нарушен в самом условии задачи.

Экспериментальное доказательство парадокса часов стало возможным в опытах с коротко живущими частицами, так называемыми -мезонами, возникающими в космических ливнях на очень больших высотах. Время жизни этих частиц известно из лабораторных измерений. Оно таково, что эти частицы, движущиеся со скоростью, составляющей 99,5% скорости света, не должны были бы успеть до распада проникнуть в атмосферу глубже, чем на 600 м, если бы не релятивистское удлинение времени. Это удлинение делает возможным их проникновение на глубину 6000 м и более и их появление на уровне моря. Этот факт никак нельзя было бы объяснить без формул преобразования теории относительности. Таким образом, эффект, на котором основан так называемый «парадокс часов», полностью подтвержден экспериментально.