ГЛАВА VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ

Введение. В своем восхождении мы поднялись уже довольно высоко и теперь находимся в разреженной атмосфере теорий необыкновенной красоты и приближаемся к высокому плато, на котором встречаются и находят общую почву геометрия, оптика, механика и волновая механика. Только путем глубоких размышлений, принимающих зачастую творческий характер, можно постичь всю красоту предмета нашего исследования, в котором последнее слово еще отнюдь не сказано. Мы начнем с теории интегрирования, принадлежащей Якоби, а затем перейдем к исследованиям Гамильтона в области геометрической оптики и механики. Объединение этих двух подходов ведет к великим открытиям де Бройля и Шредингера, лежащим в конце нашего пути.

1. Важная роль производящей функции в задаче о движении.

В теории канонических преобразований нет более важной теоремы, чем та, которая утверждает, что произвольное каноническое преобразование полностью характеризуется заданием одной-единственной функции 5 — производящей функции этого преобразования. Подобным же образом и канонические уравнения характеризуются одной функцией — функцией Гамильтона Я. Эти две фундаментальные функции можно связать между собой определенными соотношениями. Для решения задачи о движении достаточно рассмотреть функцию Гамильтона и попытаться упростить ее с тем, чтобы канонические уравнения стали непосредственно интегрируемыми. С этой целью можно применить подходящее каноническое преобразование, причем это преобразование зависит от одной функции Поэтому вместо решения целой системы канонических уравнений можно свести задачу к решению одного уравнения, дифференциального уравнения в частных производных.

С практической точки зрения мы выиграли немного. Решение уравнения в частных производных — даже одного

уравнения — нелегкая задача. Она в большинстве случаев не легче, чем первоначальная задача интегрирования. Те задачи, которые могут быть решены с помощью уравнения в частных производных, обычно могут быть решены и другими методами. Поэтому в течение длительного времени считалось, что методы Гамильтона имеют чисто математический интерес и их практическое значение невелико. Философское же значение этих методов и то, что они позволяют по-новому осмыслить наиболее глубокие проблемы механики, оставалось незамеченным всеми, за исключением нескольких ученых, на которых произвела большое впечатление необыкновенная красота исследований Гамильтона. Среди них следует особо отметить Якоби; позднее это были Гельмгольд, Ли, Пуанкаре и уже в наши дни де Бройль и Шредингер. В современной физике методы Гамильтона завоевали признание благодаря оптико-механической аналогии, которая была выяснена с помощью уравнения в частных производных Гамильтона. С рождением шредингеровской волновой механики, существенно опирающейся на работы Гамильтона, основные идеи гамильтоновой механики нашли свое место в учебниках теоретической физики. При этом, однако, на первый план выдвигается обычно техническая сторона этой теории, а ее принципиальная философская сторона остается в тенн. С нашей точки зрения, чисто техническая сторона этого вопроса менее важна. Основной интерес представляет осмысление основ этой теории и взаимосвязи между ее различными аспектами. Мы обсудим последовательно теории Якоби и Гамильтона и выявим ту центральную роль, которую в них играет уравнение в частных производных Гамильтона — Якоби.

Резюме. Канонические преобразования характеризуются одной-единственной функцией, производящей функцией. Поэтому задача нахождения некоторого канонического преобразования, которое бы упрощало функцию Гамильтона и делало бы уравнения непосредственно интегрируемыми, эквивалентна задаче о нахождении только одной функции. Эта функция определяется одним уравнением в частных производных. Задача решения системы канонических уравнений заменяется задачей решения этого уравнения.