11. Орбиты планет в теории тяготения Эйнштейна.

Обдумывая тот удивительный и вместе с тем, по-видимому.

основополагающий факт, что всякая инертная масса является одновременно и тяжелой массой, а потому источником гравитационной силы, Эйнштейн пришел к выводу, что скорость света не может быть постоянной при наличии гравитационного поля. Поскольку линейный элемент Минковского непосредственно приводит к инвариантности светового конуса (9.3.11), вывод Эйнштейна требует замены этого линейного элемента более общим линейным элементом, учитывающим наличие гравитации. С беспрецедентной дерзостью математического воображения, имевшей тем не менее глубокие корни в среде наблюдаемых физических явлений, Эйнштейн ввел в физику мира геометрию Римана. Исходя из геометрии пространств с кривизной, он показал, что не только пространство и время объединяются в одно целое (что было уже показано Минковским на основе квазиевклидова четырехмерного линейного элемента), но что одним геометрическим целым становятся пространство, время и материя, причем «материя» в этой картине связывается с кривизной четырехмерного мира.

Изучение идей общей теории относительности выходит за рамки динамики частицы, однако мы обсудим фундаментальный результат Эйнштейна, отказавшегося от понятия о «силе тяжести» как о какой-то отдельной силе, и объяснившего движение планет как чисто геодезическое явление, т. е. как движение частицы, на которую не действуют никакие силы, в четырехмерном пространстве с римановой структурой.

Теория Эйнштейна обобщает гравитационный потенциал Ньютона, заменяя его системой десяти величин, определяющих поле и являющихся компонентами четырехмерного риманова линейного элемента. Обобщением скалярного потенциального уравнения Ньютона явились «Эйнштейновы уравнения поля», позволяющие получить, например, гравитационное поле Солнца в предположении, что это поле сферически симметрично. Результат вычисления получается в форме «линейного элемента Шварцшильда», который в сферических координатах имеет вид

Случай соответствует «плоскому» линейному элементу Минковского (9.5.2), записанному в сферических координатах.

Таким образом, задача о движении планет под действием притяжения центрального тела становится эквивалентной вычислению геодезической линии в римановом пространстве с линейным элементом (9.11.1). Это снова предполагает решение задачи динамики с функцией Гамильтона (9.10.5), которая в этом случае имеет вид

В действительности мы заранее знаем, что вследствие сферической симметрии эта задача сводится к движению в плоскости Поэтому достаточно рассмотреть задачу Гамильтона лишь для трех пар канонических переменных с функцией Гамильтона

Далее используем то, что не входят в функцию Гамильтона явно. Следовательно, они являются циклическими координатами и заранее смогут быть исключены

Это сводит к

Для нас наиболее интересным является не процесс протекания движения во времени, а геометрические орбиты, по которым планеты вращаются вокруг Солнца; другими словами, нас интересует связь между . Имеем

и потому

Вместе с теоремой о сохранении энергии,

это сразу позволяет выразить в виде функции Определение орбит свелось таким образом к одной квадратуре

(знак перед квадратным корнем при вычислении выбран так, чтобы увеличение значений приводило к увеличению значений 8); или, после введения в качестве переменной величины, обратной радиусу имеем

Поскольку знаменатель оказывается квадратным корнем из кубического многочлена по интегрирование приводит к эллиптическому интегралу. Однако истинное значение а в солнечной системе столь мало, что можно разложить в ряд по степеням и пренебречь членами третьего порядка, которые очень малы. Поэтому последний член в знаменателе заменяется на

а — соответственно на поскольку следующий член дает уже совершенно ненаблюдаемый вклад. В результате получаем интеграл

который интегрируется в элементарных функциях. Квадратичную функцию в знаменателе можно разложить на множители

где определяются условиями

Если ввести обозначения

и положить

то знаменатель превращается в

а числитель - в

Окончательно получаем подинтегральпую функцию

Это выражение интегрируется в элементарных функциях. Величина согласно (9.11.14), практически равна так что

Поэтому постоянный множитель перед первым членом в (9.11.20) можно заменить на Интегрирование этого члена дает

Возвращаясь к исходному переменному получаем

а это — фокальное уравнение эллипса с небольшой поправкой, приводящей к медленной прецессии эллипса в его собственной плоскости. Изменение угла от одного минимума перигелия) до следующего равно не а

Интегрирование второго члена в (9.11.20) дает малое периодическое возмущение орбиты (слишком малое для того, чтобы его можно было наблюдать). Оно не накапливается, в то время как смещение перигелия происходит на каждом обороте, так что после сотен витков оно достигает измеримой величины.

Для получения численной величины а следует воспользоваться феноменологической теорией Пуанкаре — Минковского, упоминавшейся ранее в п. 8. Эта теория основана на специальной теории относительности. Она приспособила ньютоновы уравнения движения планет к требованиям этой теории с тем условием, чтобы в предельном случае малых скоростей получить старые результаты. Функция Гамильтона в этой теории имеет вид (9.8.8). В сферических координатах для имеем

где - потенциальная энергия гравитационного поля Солнца (см. задачу 2 в гл. V, п. 2). Из сравнения гамильтониана (9.11.25) с функцией Гамильтона (9.11.3) теории Эйнштейна видно, что согласие для малых скоростей получается при выборе Если при этом пренебречь величинами второго порядка, то знаменатель первого члена принимает вид

где гравитационная постоянная, масса Солнца. Следовательно, в качестве постоянной интегрирования в линейном элементе Шварцшильда (9.11.1) следует взять величину

Численное значение отношения очень мало

Умножив эту величину на массу Солнца, получим расстояние, называемое «гравитационным радиусом» Солнца и равное

Эта величина очень мала по сравнению с расстояниями до планет. Поэтому разложение в ряд по было вполне законным.

Для Меркурия, ближайшей к Солнцу планеты, вековой эффект движения перигелия уже ясно выражен. Если а — большая полуось орбиты, ее эксцентриситет, то

и смещение перигелия на каждом витке равно в соответствии с (9.11.24)

Этот знаменитый результат Эйнштейна оказался в полном согласии с величиной наблюдавшейся прецессии перигелия Меркурия (смещение за столетие: вычисленное — 43,03±0,03 сек, измеренное — 42,56±0,94 сек).

Следует заметить, что эффект прецессии дает возможность проверить правильность теоретического выражения для в первом и во втором приближении, а выражения для в первом приближении.