7. Обобщенная сила и силовая функция.

Левая и правая части уравнения движения Ньютона отражают соответственно два принципиально различных аспекта задач механики. В левой части отражены инертные свойства массы. В аналитической механике эти свойства находят свое выражение в понятии кинетической энергии. Правая часть уравнения — «движущая сила» — описывает динамическое поведение внешнего поля в его воздействии на частицу. Хотя мы склонны считать силу за некую первичную и несводимую

величину, аналитические методы механики приводят к выводу, что на самом деле основную роль играет не сила, а производимая ею работа, в то время как сама сила есть вторичная величина, получаемая из работы.

Предположим, что на каждую частицу системы с массой и прямоугольными координатами действует сила имеющая компоненты

Эти силы появляются либо за счет внешнего поля, либо в результате взаимодействия частиц. Сюда, однако, не включаются силы, которые обеспечивают выполнение кинематических связей; аналитические методы механики не требуют знания этих сил.

Изменим координаты каждой частицы на бесконечно малую величину . Полная работа всех рассматриваемых сил равна

Если теперь заменить прямоугольные координаты обобщенными в соответствии с уравнениями (1.2.8), то дифференциалы выразятся через а бесконечно малая работа запишется в виде линейной дифференциальной формы от переменных

Эта дифференциальная форма играет первостепенную роль в образовании понятия силы в аналитической механике. Исходные силы, действующие на частицы, несущественны; важны лишь коэффициенты

дифференциальной формы (1.7.3). Величины (1.7.4) полностью определяют динамическое действие всех сил; они являются компонентами вектора, причем вектора в -мерном пространстве конфигураций. Мы будем называть этот вектор «обобщенной силой», а величины «компонентами обобщенной силы».

Подобно тому как движение механической системы можно заменить движением одной частицы в некотором -мерном римановом пространстве, причем инерция всей системы входит в кинетическую энергию этой воображаемой частицы, так и динамическое действие всех сил может быть представлено с помощью одного вектора, действующего на эту частицу. Этот вектор имеет компонент в соответствии с числом измерений пространства конфигураций. Компоненты вектора определяются аналитически как коэффициенты инвариантной дифференциальной формы первого порядка, которая выражает полную работу всех действующих сил при произвольном бесконечно малом изменении положения системы.

Теперь силы, действующие на механическую систему, автоматически распадаются на две категории. В общем случае мы ничего не сможем сказать о величине кроме того, что она является дифференциальной формой первого порядка. Однако возможно также, что окажется полным дифференциалом некоторой функции. В большинстве задач осуществляется именно эта возможность.

Предположим, что бесконечно малая работа является полным дифференциалом некоторой функции, так что черта над может быть опущена. Эта функция называется «силовой» и обычно обозначается буквой Поэтому положим

где

Отсюда имеем

откуда

На практике обычно пользуются величиной, которая отличается от силовой функции знаком. Эту величину обозначают через V:

Смысл замены знака состоит в том, что с точки зрения закона сохранения энергии V может быть интерпретирована как «потенциальная энергия» системы. Уравнения (1.7.8) можно теперь переписать в виде:

где V — функция координат

Силы, имеющие потенциал, замечательны с двух точек зрения. Во-первых, они удовлетворяют закону сохранения энергии; по этой причине они называются «консервативными силами». Во-вторых, несмотря на то что обобщенная сила имеет компонент, все эти компоненты могут быть вычислены из одной скалярной функции Для применения к механике вариационных методов важно только последнее свойство, а то, что при этом сохраняется энергия системы, несущественно.

Определение силовой функции на основе выражения (1.7.5) слишком ограничено. В природе имеются силы, определяемые силовой функцией, зависящей от времени: Уравнение (1.7.5) при этом остается справедливым, только если при нахождении дифференциала время считать константой. Уравнения (1.7.7) и (1.7.8) остаются справедливыми, но свойство сохранения энергии системы уже теряется. Обобщенная сила, не будучи консервативной, имеет силовую функцию. Электрически заряженные частицы, вращаясь в циклотроне, возвращаются в ту же точку с возросшей кинетической энергией, так что энергия не сохраняется. Это происходит не из-за того, что в этом случае силовая функция отсутствует, а потому, что она зависит от времени. С другой стороны, обобщенная сила может не иметь силовой функции и все же удовлетворять условию сохранения энергии системы, как, например, сила, обеспечивающая качение.

Желательно иметь особое название для сил, порождаемых одной скалярной величиной, независимо от того, консервативны они пли нет. В данной книге для этой категории

сил предлагается название «моногенные» (что означает «произведенные от одного»), в то время как остальные силы, например трение, можно называть «полигенными».

Силовая функция, связанная с моногенной силой, в наиболее общем случае зависит от координат и от скоростей

Например, электромагнитная сила Лоренца, действующая на частицу при наличии электрического и магнитного полей, порождается именно подобной силовой функцией. Из дифференциальных уравнений Эйлера — Лагранжа (см. ниже, гл. II, п. 10) следует, что связь между силой и силовой функцией при этом задается уравнением

которое является обобщением более простого выражения (1.7.8).

Резюме. При аналитическом подходе существенной величиной в механике является не сила, а работа, совершаемая действующими силами на произвольном бесконечно малом перемещении. Вариационные методы дают особенно полезные результаты в случае сил, определяемых одной скалярной величиной, силовой функцией U. Такие силы можно назвать «моногенными». Если силовая функция не зависит от времени, мы получаем класс сил, называемых «консервативными», поскольку они удовлетворяют закону сохранения энергии. В распространенном случае, когда силовая функция не зависит ни от времени, ни от скоростей, эта функция, взятая с обратным знаком, может быть интерпретирована как потенциальная энергия; сила при этом является градиентом потенциальной энергии, взятым с обратным знаком. Силы, не имеющие силовой функции, тоже могут быть охарактеризованы работой, совершенной на бесконечно малом перемещении, но к ним не применима общая процедура нахождения минимума, характерная для аналитической механики.