ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

1. Характерные черты методов аналитической механики.

Аналитическая форма механики, развитая Эйлером и Лагранжем, существенно отличается по своим методам и принципам от механики векторной. Основной закон механики, сформулированный Ньютоном: «произведение массы на ускорение равно движущей силе», - непосредственно применим лишь к одной частице. Он был выведен при изучении движения частиц в поле тяготения Земли, а затем применен к движению планет под воздействием Солнца. В обоих случаях движущееся тело могло рассматриваться как «материальная точка» или «частица», т. е. можно было считать массу сосредоточенной в одной точке. Таким образом, задача динамики формулировалась в следующем виде: «Частица, которая может свободно перемещаться в пространстве, находится под действием заданной силы. Описать движение в любой момент времени». Из закона Ньютона получалось дифференциальное уравнение движения, и решение задачи динамики сводилось к интегрированию этого уравнения.

Если частица не является свободной, а связана с другими частицами, как, например, в твердом теле или в жидкости, то уравнение Ньютона следует применять осторожно. Необходимо сначала выделить одну частицу и определить силы, которые на нее действуют со стороны остальных, окружающих ее частиц. Каждая частица является независимым объектом и подчиняется закону движения свободной частицы.

Этот анализ сил зачастую является затруднительным. Так как природа сил взаимодействия заранее неизвестна, приходится вводить дополнительные постулаты. Ньютон полагал, что принцип «действие равно противодействию», известный как его третий закон движения, будет достаточен для всех проблем динамики. Это, однако, не так. Даже в динамике твердого тела пришлось ввести дополнительное предположение о том, что внутренние силы являются центральными.

В более сложных случаях ньютонов подход не всегда приводит к однозначному решению задачи.

Аналитический подход к задаче о движении совсем иной. Частица уже больше не является изолированным объектом, а представляет собой часть «системы». Под «механической системой» понимается совокупность частиц, взаимодействующих между собой. Отдельная частица не играет роли; изучается поведение системы как целого. Например, допустим, что в задаче о движении планет нас интересует движение лишь какой-то одной из них. Однако задачу нельзя решить в таком ограниченном виде. Источником силы, действующей на данную планету, в основном является Солнце. Но в какой-то степени эта сила обусловлена действием других планет, и потому она не может быть определена, если не известно движение остальных частей системы. Поэтому целесообразно рассматривать задачу динамики системы в целом, не разбивая эту систему на части.

Преимущества такого объединенного изучения еще более существенны с точки зрения анализа сил. В векторной механике каждая частица рассматривается отдельно и действующие силы должны быть определены независимо для каждой частицы. При аналитическом же подходе достаточно знать одну-единственную функцию, зависящую от положения движущихся частиц. Эта «силовая функция» содержит в неявном виде все силы, действующие на частицы системы; их можно получить из этой функции простым дифференцированием.

Еще одно существенное различие между двумя методами связано с понятием «дополнительных условий». Часто случается, что между частицами движущейся системы имеются кинематические соотношения, которые могут быть сформулированы a priori. Например, возможности движения частиц твердого тела ограничены его «жесткостью»; это означает, что расстояние между любыми двумя точками не может изменяться. Природа подобных кинематических условий не ясна a priori, ибо своим возникновением они обязаны действию каких-то значительных сил. Аналитический метод обладает, однако, тем преимуществом, что он не требует знания этих сил и позволяет обойтись лишь кинематическими условиями как таковыми. Мы можем написать уравнения движения для твердого тела, не зная, какие силы

обусловливают его жесткость. Аналогично нам не нужно детально знать силы взаимодействия между частицами жидкости; достаточно знания того экспериментального факта, что в жидкости возникают весьма значительные силы, препятствующие изменению ее объема, в то время как силы, препятствующие изменению ее формы при сохранении объема, невелики. Исходя из этого, мы можем заменить неизвестные внутренние силы кинематическими условиями о том, что в процессе движения объем любой части жидкости должен сохраняться.

Если учесть, что задание таких априорных кинематических условий намного проще, чем детальное изучение сил, необходимых для удовлетворения этих условий, то станет очевидным громадное преимущество аналитического подхода по сравнению с векторным.

Однако более фундаментальным, чем все эти особенности, является наличие в аналитической механике объединяющего принципа, который является кульминационным пунктом аналитического подхода. Движение достаточно сложной механической системы описывается большим числом — иногда даже бесконечным числом — отдельных дифференциальных уравнений. Вариационные принципы аналитической механики образуют единую основу, из которой следуют все эти уравнения. За всеми этими уравнениями скрывается общий принцип, заключающий в себе смысл всей этой совокупности уравнений. Вводится одна фундаментальная величина «действие»; принцип, согласно которому эта величина должна иметь стационарное значение, приводит к полной системе дифференциальных уравнений, Более того, установление этого принципа не связано с какой-либо специальной системой координат. Поэтому и аналитические уравнения движения также инвариантны относительно любых преобразований координат.

Замечание относительно терминологии. Прилагательное «аналитическая» в выражении «аналитическая механика» не имеет ничего общего с философским процессом анализа; оно происходит от математического термина «анализ» и указывает на приложение методов исчисления бесконечно малых к тем или иным проблемам чистой или прикладной математики. Во французской и немецкой литературе термин «аналитическая механика» относится лишь к абстрактной математической трактовке проблем механики методами Эйлера, Лагранжа и Гамильтона; в английской же, и особенно в американской

литературе, этим же термином часто называют и элементарные приложения анализа к задачам обычной векторной механики. Термин «механика» включает в себя «статику» и «динамику», причем первая имеет дело с равновесием частицы и систем частиц, а вторая изучает их движение. (Отдельным разделом механики является «механика сплошной среды», включающая в себя гидромеханику и теорию упругости. Она основана главным образом на уравнениях в частных производных, а не на обыкновенных дифференциальных уравнениях. Эти вопросы не входят в настоящую книгу.)

Резюме. Сформулируем теперь четыре основных пункта, по которым имеется различие между векторной и аналитической механикой:

1. Векторная механика выделяет отдельную частицу и рассматривает ее изолированно от остальных; аналитическая механика рассматривает систему как целое.

2. В векторной механике действующая сила вычисляется отдельно для каждой движущейся частицы; в аналитической механике рассматривается одна-единственная функция — силовая функция (или потенциальная энергия). Эта функция содержит в себе всю необходимую информацию о действующих силах.

3. Если на механическую систему наложены известные эмпирически определяемые кинематические условия, выполнение которых обеспечивается за счет действия достаточно больших сил, то векторная механика должна рассматривать эти силы. Аналитическая же механика исходит из самих кинематических условий и не требует знания сил, обеспечивающих выполнение этих условий.

4. В аналитическом методе полная система уравнений движения может быть получена из одного объединенного принципа, содержащего в неявном виде все эти уравнения. Этот принцип заключается в нахождении минимума определенной величины, называемой «действием». Так как приицип минимума не связан с той или иной системой отсчета, то уравнения аналитической механики справедливы в любой системе координат. Это позволяет выбирать координаты в соответствии с особенностями рассматриваемой задачи.