2. Стационарное значение функции.

Рассмотрим функцию произвольного числа переменных

Эти переменные могут рассматриваться как прямоугольные координаты точки в пространстве измерений. Если мы нанесем значения самой функции вдоль еще одного измерения, то получим некоторую поверхность в пространстве измерений. Мы будем предполагать, что непрерывная и дифференцируемая функция переменных .

Переведем теперь выражение: «исследование бесконечно малой окрестности некоторой точки» на точный математический язык. При этом нам понадобится понятие «вариации», которое означает бесконечно малое изменение, подобное дифференциалу в обычном анализе. В отличие от обычного дифференцирования это бесконечно малое изменение не связано с действительным изменением независимой переменной; это своего рода математический эксперимент, который мы проделываем над совокупностью переменных. Рассмотрим для примера шарик, покоящийся в нижней точке чаши. Действительное перемещение шарика равно

нулю. Нам, однако, желательно перевести его в какое-нибудь соседнее положение, чтобы посмотреть, как изменится его потенциальная энергия. Подобная операция называется «виртуальным перемещением». Термин «виртуальное» означает, что перемещение производится преднамеренно в любом кинематически допустимом направлении. Такое виртуальное бесконечно малое изменение положения кратко называется «вариацией положения». Эта вариация вызывает соответствующее изменение исследуемой функции нашем примере потенциальной энергии шарика). Мы производим варьирование переменных по своему усмотрению, после чего соответствующее изменение функции, называемое «вариацией функции», происходит уже независимо от нас.

Лагранжу принадлежит замечательная идея ввести для вариации специальный символ чтобы подчеркнуть ее виртуальный характер. Сходство с обозначением дифференциала напоминает, что оба символа означают бесконечно малое изменение. Однако относится к действительным, к виртуальным изменениям. Так как в задачах, связанных с вариациями определенных интегралов, встречаются одновременно оба типа изменений, это различие в обозначениях оказывается весьма существенным.

В соответствии с введенными обозначениями запишем бесконечно малые виртуальные изменения наших координат в виде

Соответствующее изменение функции находится по правилам элементарного анализа

Это выражение называется «первой вариацией» функции .

Для того чтобы оперировать с конечными, а не с бесконечно малыми величинами, положим

где направляющие косинусы выбранного нами виртуального направления, параметр, стремящийся к нулю.

Скорость изменения функции в выделенном направлении

Для того чтобы приняло стационарное значение, эта скорость должна обратиться в нуль:

«Виртуальность» нашего перемещения означает, что мы можем выбрать любое направление; поэтому произвольны и, следовательно,

Обратно, если условия (2.2.7) выполняются, то величина (2.2.5) обращается в нуль и имеет стационарное значение. Следовательно, условия (2.2.7) являются необходимыми и достаточными для стационарности функции.

Заметим, что уравнения (2.2.7) определяют лишь положение стационарного значения, а не само значение. Найдя, однако, из уравнений (2.2.7) и величин их, мы можем подставить их в выражение для и определить таким образом стационарное значение нашей функции.

Резюме. Необходимым и достаточным условием наличия стационарного значения функции переменных в некоторой точке является обращение в нуль в этой точке всех ее частных производных.