8. Основные операции вариационного исчисления.

Лагранж понимал, что задача нахождения минимума определенного интеграла требует особых методов, отличных от методов обычного анализа. С помощью таких методов задача могла бы решаться непосредственно без обращения к предельному переходу, как это сделал Эйлер.

Рассмотрим функцию которая, по предположению, дает стационарное значение определенному интегралу (2.7.5). Чтобы доказать, что мы действительно имеем стационарное значение, нужно вычислить подобный же интеграл для слегка измененной функции и показать, что скорость изменения интеграла при изменении функции становится равной нулю.

Измененную функцию очевидно, можно записать в виде

где некоторая произвольная функция, удовлетворяющая тем же общим условиям непрерывности, что и функция должна быть непрерывной и дифференцируемой.

Очевидно, что выбор искомой функции которая решает вариационную задачу, должен быть сделан в классе непрерывных функций, дифференцируемых по крайней мере один раз; иначе интеграл от не будет иметь смысла. Мы, однако, ограничим более сильным, требованием, чтобы и существовала во всем интервале. (Подобного предположения для не требуется.)

При помощи переменного параметра мы можем делать изменение функции произвольно малым; для этого нужно лишь устремить к нулю.

Теперь сравним значения измененной функции со значениями первоначальной функции при некотором определенном значении независимой переменной Для этого образуем разность между она называется «вариацией» функции и обозначается через

Вариация функции, по аналогии с вариацией положения точки, рассматривавшейся ранее, характеризуется двумя основными свойствами. Во-первых, это бесконечно малое

изменение, так как параметр стремится к нулю. Во-вторых, это виртуальное изменение, так что его можно осуществить произвольным образом. Следовательно, совершенно произвольно выбранная функция, удовлетворяющая условиям непрерывности.

Отметим существенное различие между Обе величины являются бесконечно малыми изменениями функции у.

Рис. 3.

Однако порождается бесконечно малым изменением независимой переменной, в то время как своим возникновением обязано новой функции

Природа процесса варьирования такова, что варьируется лишь функция у, а варьирование независимой переменной является излишним. Поэтому мы будем всегда считать

Кроме того, две граничные ординаты функции заданы и не могут варьироваться. Это означает, что

Мы говорим в этом случае о «варьировании при фиксированных граничныхзначениях».

Резюме. Вариационное исчисление рассматривает виртуальное бесконечно малое изменение функции Вариация означает произвольное бесконечно малое изменение значения у при фиксированном значении Независимая переменная не принимает участия в процессе варьирования.