ГЛАВА II. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

1. Общие свойства задач на экстремум.

Задачи на нахождение экстремума всегда привлекали к себе внимание. Даже наша ходьба по прямой линии есть инстинктивное решение задачи на экстремум: мы хотим достичь конечной точки нашего пути с возможно меньшими усилиями. Известное выражение «по пути наименьшего сопротивления» есть еще одно признание нашего инстинктивного стремления к нахождению минимума. Это же стремление проявляется в общем интересе к рекордным достижениям, к чему-то такому, что «нельзя превзойти».

Математически мы говорим о «задаче на экстремум» всякий раз, когда фигурирует наибольшее или наименьшее значение какой-либо величины. Например, мы можем искать наивысшую точку горы или наинизшую точку долины, или кратчайший путь между двумя точками, или наибольший объем контейнера, который можно сделать из данного куска металла, или наименьшие возможные затраты на освещение либо на обогрев и т. д. Для решения подобных задач возникла отдельная ветвь математики, называемая «вариационным исчислением».

С формальной точки зрения задача нахождения минимума определенного интеграла является собственно задачей вариационного исчисления, в то время как задача нахождения минимума функции принадлежит к обычному анализу. Исторически эти две проблемы возникли одновременно и четкого разграничения между ними не было вплоть до Лагранжа, развившего технику вариационного исчисления. Знаменитая задача Дидоны, хорошо известная геометрам древности, была вариационной задачей, требовавшей нахождения минимума некоторого интеграла. Герон Александрийский вывел закон отражения, исходя из того, что луч света, выходящий из точки и приходящий в точку В после отражения от зеркала, достигает цели в кратчайшее время. Ферма применил этот принцип для получения законов преломления. Все эти задачи решались геометрическими методами. Задача о брахистохроне (кривой быстрейшего спуска) была предложена Иоганном Бернулли и решена независимо им самим, Ньютоном и Лейбницем. Основные дифференциальные

уравнения для вариационных задач были найдены Эйлером и Лагранжем. Общий метод решения вариационных задач был предложен Лагранжем в его Mecanique Analytique (1788).

Перед тем как приступить к изложению формального аппарата вариационного исчисления, рассмотрим один простой, но типичный пример, который поможет уяснить общие черты задач на экстремум. Предположим, что мы желаем определить высшую точку юры. Высота местности может быть аналитически записана уравнением

и пусть — непрерывная и дифференцируемая функция х и у.

Вопрос о максимуме или минимуме по самой своей природе требует какого-то сравнения. Если мы утверждаем, что находимся на вершине горы, то мы должны показать, что все соседние точки расположены ниже нас. Здесь мы сталкиваемся с первым характерным ограничением задач на экстремум. В удаленных от нас частях горы могут существовать и более высокие пики. Нам достаточно, чтобы достигнутая нами высота была максимальна в непосредственной окрестности, даже если и не установлено, что она максимальна в более широкой окрестности. Мы говорим, таким образом, о локальном максимуме (или минимуме) в отличие от абсолютного максимума (или минимума).

Однако даже программа поисков этого относительного экстремума может быть еще больше ограничена исследованием в первую очередь бесконечно малой (т. е. произвольно малой) окрестности нашего местоположения. Ясно, что возле вершины горы все точки бесконечно малой окрестности должны иметь в первом приближении одинаковую высоту. Это означает, что скорость изменения высоты должна быть равна нулю при движении в любом направлении. Действительно, наличие положительной скорости движения в каком-либо направлении означало бы, что в ближайшей окрестности нашей точки имеются другие точки, с большей высотой. С другой стороны, если скорость изменения отрицательна в некотором направлении, то, двигаясь в противоположном направлении, мы можем сделать скорость изменения

положительной. При этом предполагается, и это очень существенно, что имеется возможность двигаться в любом направлении.

Таким образом, в точке, где имеется относительный максимум функции, не должно быть ни положительного, ни отрицательного значения скорости ее изменения. Отсюда следует весьма важное утверждение, что для наличия максимума данной функции в некоторой точке требуется, чтобы скорость изменения функции при движении в любом направлении от этой точки была равна нулю.

Однако это условие само по себе не гарантирует наличие максимума. Мы можем находиться на седловой точке, что приводит к наличию минимума по отношению к одним направлениям и максимума по отношению к другим. Поэтому равенство нулю скорости изменения функции во всех возможных направлениях является необходимым, но отнюдь не достаточным условием наличия экстремума. Требуется провести дополнительное исследование, чтобы установить, что в действительности реализуется: максимум, минимум или седаовая точка без какого-либо экстремального значения.

Однако тот факт, что мы находимся в точке, где скорость изменения функции в любом направлении равна нулю, интересен сам по себе. Подобные точки являются особыми, независимо от того, выполняются в них или нет более сильные условия наличия максимума или минимума. Поэтому эти точки имеют специальное название. Если скорость изменения функции в любом направлении в некоторой точке равна нулю, то мы говорим, что функция имеет в этой точке «стационарное значение».

Как оказалось, в задачах о движении существенны лишь стационарные значения некоторых определенных интегралов. Поэтому имеется заметное различие между вариационным исчислением — ветвью чистой математики, с одной стороны, и его приложением к задачам механики — с другой. С точки зрения чистой математики задача о нахождении стационарных значений не представляет большого интереса. После установления критерия для стационарных точек идут дальше и ищут дополнительные критерии для истинных экстремумов. Для вариационных принципов механики, однако, эти последние исследования представляют интерес только при решении задач устойчивости, когда ищется действительный

минимум потенциальной энергии. Задачи же по определению движения не связаны со специальными условиями существования таких минимумов.

Резюме. Задача о нахождении точки, в которой некоторая функция имеет относительный максимум или минимум, приводит к необходимости исследования бесконечно малой окрестности этой точки. Это исследование должно показать, что функция обладает стационарным значением в рассматриваемой точке. Хотя это утверждение само по себе без дополнительных условий и не может гарантировать наличия экстремума, для общих задач динамики его достаточно: задачи движения требуют лишь нахождения стационарных значений, а не обязательно минимумов некоторого определенного интеграла.