5. Физическая интерпретация метода неопределенных множителей Лагранжа.

Пусть мы имеем механическую систему с степенями свободы, определяемую обобщенными координатами на которую наложено кинематическое условие вида

Метод Лагранжа требует, чтобы

Напомним, что это выражение можно записать в виде

где

Мы снова получаем задачу о нахождении стационарного значения функции, но эта функция — уже не первоначальная потенциальная энергия V, а видоизмененная потенциальная энергия Физически это вполне понятно. Поскольку мы не ограничиваем вариации положения системы условием (3.5.1), а допускаем произвольные вариации постольку будут действовать не только приложенные силы, но и силы, обеспечивающие выполнение заданной связи. Они тоже имеют свою потенциальную энергию, которую следует добавить к потенциальной энергии внешних сил. Поэтому преобразование потенциальной энергии путем добавления члена это не просто математический прием, а операция, имеющая реальный физический смысл. Преобразование потенциальной энергии в соответствии с методом множителей Лагранжа отражает наличие потенциальной энергии у сил, обеспечивающих выполнение заданных кинематических условий.

Естественно, что мы не можем ожидать большого количества сведений о механизме, обеспечивающем выполнение заданного кинематического условия, поскольку нам, по сути дела, ничего не известно, кроме самого условия. Член содержит множитель X, который может быть вычислен только для реальных конфигураций механической системы. Иначе говоря, X известно только для тех точек С пространства конфигураций, которые лежат на поверхности (3.5.1). Тем не менее этих скудных сведений о силовой функции для сил, обеспечивающих связь, вполне достаточно для определения самих этих сил. Дело в том, что, взяв градиент дополнительной потенциальной энергии

мы получим

В точке С второй член выпадает, так как в него входит множитель обращающийся в точке С в нуль; в результате

«сила реакции» сводится к

Таким образом, член с множителем Лагранжа обладает следующим интересным свойством: из него можно получить силу реакции, связанную с соответствующей кинематической связью. Ниже мы увидим, что это справедливо не только в состоянии равновесия, но и при движении (см. гл. V, п. 8).

Задача 1. Пусть силовая функция совокупности свободных частиц, связанная с силами взаимодействия между ними, зависит от «относительных координат»

любой пары частиц

Варьируя по получаем -компоненту силы, действующей на Показать, что величину

можно интерпретировать, как -компоненту силы, «действующей на со стороны Непосредственно видно, что

Следовательно, для этих сил выполняется закон Ньютона «действие равно противодействию». Силы появляются попарно, равные по величине и противоположные по знаку.

Задана 2. Сделаем более жесткое предположение, что зависит только от комбинации

т. е. от расстояния между любыми двумя частицами. Показать, что внутренние силы в этом случае являются центральными, т. е. направлены вдоль прямой, соединяющей Такие силы не дают результирующего момента.

Задана 3. Рассмотрим твердое тело как совокупность свободных частиц, ограниченных дополнительными условиями

Показать с помощью метода множителей Лагранжа и результатов предыдущих двух задач, что силы, удерживающие частицы твердого тела, не дают результирующей силы и результирующего момента

Если имеющиеся кинематические связи неголономны, то уже нельзя записать видоизмененную функцию, которая должна быть минимизирована. Но в условиях равновесия все же появляются члены с Это опять-таки имеет прямой физический смысл. Члены с X добавляют к приложенным силам силы, обеспечивающие удовлетворение кинематических связей. Хотя в этом случае и не существует силовой функции, силы реакции возникают, как и раньше.

Таким образом, замечательный метод неопределенных множителей Лагранжа проясняет природу голономцых и неголономных кинематических связей, показывая, что голономные связи механически эквивалентны моногенным силам; с другой стороны, неголономные связи механически эквивалентны полигенным силам. Голономная связь поддерживается при помощи моногенных сил; неголономная связь поддерживается при помощи полигенных сил.

Резюме. Физический смысл метода неопределенных множителей Лагранжа заключается в том, что этот метод позволяет получить силы реакции, возникающие вследствие наличия кинематических связей. В случае голономных связей эти силы можно получить из некоторой силовой функции; в случае неголономной связи такой функции не существует, однако силы реакции можно получить и в этом случае.