ВВЕДЕНИЕ
1. Вариационные методы в механике.
С тех пор как
Ньютон заложил прочный фундамент динамики, сформулировав основные законы движения, механика развивалась по двум основным направлениям. Одна ветвь, которую мы будем называть «векторной механикой» исходит непосредственно из ньютоновых законов движения. Задача заключается в выявлении всех сил, действующих на каждую данную частицу, после чего движение однозначно определяется, если действующие силы известны в каждый момент времени. Анализ и синтез сил и моментов составляет, таким образом, основу векторной механики.
В то время как Ньютон предложил действие силы измерять ее импульсом, великий философ и универсал Лейбниц, современник Ньютона, ратовал за другую величину vis viva, или живую силу, считая именно ее правильным мерилом динамического действия силы. Эта vis viva Лейбница совпадает — с точностью до несущественного множителя 2 — с величиной, которую мы сегодня называем «кинетической энергией». В то же время он заменил «силу» Ньютона «работой силы». Эта «работа силы» была впоследствии заменена еще более фундаментальной величиной — «силовой функцией». Таким образом, Лейбниц является основателем второй ветви механики, обычно называемой «аналитической механикой», в которой изучение равновесия и движения во всех случаях исходит из двух основных величин, «кинетической энергии» и «силовой функции», причем последняя часто заменяется «потенциальной энергией».
Поскольку движение по своей природе — явление на, правленное, кажется удивительным, что для определения движения достаточно двух скалярных величин. Теоремг о сохранении энергии, устанавливающая, что сумма кинетической и потенциальной энергий остается неизменной в процессе движения, дает лишь одно уравнение, в то время как для определения движения одной частицы требуется три уравнения; в случае механической системы, состоящей из двух или более частиц, эта разница становится еще болы шей. И тем не менее эти два фундаментальных скаляра действительно содержат в себе полную динамику наиболее сложных материальных систем, при том, однако, условии что эти скаляры кладутся в основу некоторого принципа а не просто уравнения.
