3. Закон сохранения энергии как следствие принципа Даламбера.

Хотя принцип Даламбера применим, вообще говоря, к полигенным силам, имеется один частный случай, когда для моногенных сил он допускает интегрирование. Этот особый случай приводит к одному из наиболее фундаментальных законов механики, закону сохранения энергии.

Рассмотрим общую формулировку принципа Даламбера, данную в уравнении (4.1.6). Пусть активные силы — моногенные, получаемые из функции потенциальной энергии. Тогда работа активных сил равна вариации потенциальной энергии, взятой с обратным знаком, и принцип Даламбера можно записать в виде

Второй член, работа сил инерции со знаком минус, не может быть записан в общем случае как вариация какой-либо величины. Однако распорядимся вариацией являющейся произвольной пробной вариацией радиуса-вектора особым образом. Выберем в качестве пробных перемещений действительные перемещения, происходящие за время Это означает, что мы заменяем на и имеем дело с частным случаем вариационного выражения (4.3.1).

Для этой выбранной особым образом вариации виртуальное изменение потенциальной энергии совпадает с действительным изменением происходящим за время Более того, второй член в (4.3.1) также становится дифференциалом некоторой величины, что можно увидеть, если заменить ускорение второй производной радиуса-вектора

где кинетическая энергия механической системы

Уравнение (4.3.1) теперь принимает вид

и может бьпь проинтегрировано, что дает

Сумма кинетической и потенциальной энергии остается при движении постоянной. Эта фундаментальная теорема называется «законом сохранения энергии». Мы получили скалярное уравнение, являющееся лишь одним из интегралов уравнений движения. Хотя его одного и недостаточно для полного решения задачи о движении системы (исключая случай одной степени свободы), это тем не менее один из наиболее фундаментальных и универсальных законов природы, который при соответствующих модификациях выполняется не только в механических, но и во всех физических процессах. Постоянная называется «постоянной энергии».

На первый взгляд может показаться, что отождествление возможно всегда, потому что среди кинематически возможных перемещений обязательно должно быть и действительное перемещение. Однако этот почти очевидный аргумент не всегда безупречен. Он справедлив для свободных частиц, но не всегда правилен в случае механической системы со связями. Конечно, положение С-точки в пространстве конфигураций можно изменять произвольно, и мы всегда можем отождествить Это, однако, не всегда означает, что вариации положений частиц совпадают с действительными перемещениями Следует иметь в виду, что вариации накладываются мгновенно, в определенный момент времени, что означает возникновение бесконечных скоростей, в то время как реальное движение происходит с конечными скоростями. Сравнив уравнения (1.2.8) суравнениями (1.8.3), мы увидим, чтов первом случае отождествление приводит к равенству а во втором случае — нет. Уравнения первого типа выполняются

для «склерономных» систем, когда заданные кинематические связи не содержат явно времени. Уравнения же второго типа выполняются для «реономных» систем, когда кинематические связи зависят явно от времени.

Подобные соображения справедливы и относительно потенциальной энергии Если V — функция одних только то выбор приводит к если же V зависит явно от времени, то этого не происходит. Так как V определена как то наш результат означает, что для сохранения энергии силовая функция не должна зависеть явно от времени.

Таким образом, применение закона сохранения энергии следует ограничить системами, склерономными как в отношении силовой функции, так и в отношении кинематических условий. Кроме того, наш вывод неявно предполагает, что массы тк — константы.

Резюме. Если в принципе Даламбера отождествить вариации с действительными перемещениями, происходящими за время то полученное уравнение можно проинтегрировать. Это приводит к закону сохранения энергии, который утверждает, что в процессе движения сумма кинетической и потенциальной энергий остается постоянной. Для справедливости этого вывода необходимо, чтобы в процессе движения массы частиц были постоянными, а силовая функция и заданные связи системы были склерономными, т. е. не зависели от времени.