4. Канонический интеграл.

Уравнения системы (6.3.5) происходят из двух источников. Первая группа уравнений возникает в силу преобразования Лежандра и может рассматриваться как определение импульсов Вторая группа уравнений является следствием вариационного принципа. Вместе с тем явная симметрия полной системы уравнений заставляет предположить, что все они могут быть получены из какого-то единого принципа. Это действительно так.

Исходя из функции Гамильтона и опираясь на дуализм преобразования Лежандра, можно построить функцию Лагранжа Функция будет определяться выражением

Из этого выражения предстоит исключить выразив их через Однако более детальное исследование показывает, что этого исключения производить не нужно.

Посмотрим, как варьирование влияет на вариацию интеграла действия. Варьирование выражения (6.4.1) по дает

но коэффициенты при равны нулю в силу преобразования Лежандра. Отсюда видно, что произвольное варьирование не влияет на вариацию Следовательно, оно также не влияет и на интеграл от по времени. Это приводит к следующему важному результату. Раньше мы требовали обращения в нуль первой вариации интеграла действия

А при условии, что не являются независимыми переменными, а суть некоторые заданные функции Вариации таким образом, определялись вариациями Однако, поскольку вариации не влияют на вариацию интеграла действия, можно расширить формулировку первоначального вариационного принципа и утверждать, что интеграл действия принимает стационарное значение даже и при произвольных вариациях когда рассматриваются как вторая система независимых переменных.

Поэтому нет необходимости что-либо менять в форме записи функции Лагранжа (6.4.1). Можно образовать интеграл действия

и потребовать его стационарности при произвольных вариациях Эта новая вариационная задача содержит переменных и дифференциальные уравнения Эйлера—Лагранжа могут быть записаны относительно всех Сделав это, получим дифференциальных уравнений

Это не что иное, как канонические уравнения (6.3.5), представляющие собой единую систему из дифференциальных уравнений, полученных из интеграла действия (6.4.3). Мы больше не нуждаемся ни в первоначальной функции Лагранжа, ни в преобразовании Лежандра, при помощи которого была получена функция . У нас есть теперь новый вариационный принцип, эквивалентный первоначальному, но имеющий перед ним некоторое преимущество вследствие более простой структуры получающихся дифференциальных уравнений — они уже не второго, а первого порядка. В уравнениях все производные выделены, а не скрыты какими-либо алгебраическими операциями.

Это замечательное упрощение получено за счет простоты формы нового интеграла действия (6.4.3), который мы будем

называть «каноническим интегралом». Подинтегральное выражение снова имеет вид «кинетическая энергия минус потенциальная энергия». Действительно, роль прежних позиционных координат теперь играют переменные и второй член подинтегрального выражения является функцией только этих позиционных координат, первый же член зависит от скоростей. Замечательные свойства канонического интеграла связаны именно с кинетической частью подинтегрального выражения. Эта «кинетическая энергия» представляет собой теперь простую линейную функцию скоростей , а именно

Нетрудно видеть, что каждому соответствует определенное Поэтому называется «сопряженными импульсами» и переменные вариационной задачи могут быть разбиты на пары

Замечательное преобразование уравнений Лагранжа, произведенное Гамильтоном, фактически означает, что произвольная сколь угодно сложная вариационная задача может быть преобразована в эквивалентную задачу с удвоенным количеством переменных и с кинетической частью, приведенной к простой форме. Это преобразование осуществляется без какого бы то ни было интегрирования, лишь при помощи дифференцирований и исключения переменных.

Обычные задачи механики приводят к функциям Лагранжа, не содержащим производных выше первого порядка. В общем же случае в вариационных задачах могут встретиться в подинтегральном выражении производные вплоть до порядка. Эти задачи также могут быть преобразованы к нормальному виду при помощи канонического интеграла. Поэтому канонические уравнения Гамильтона могут считаться нормальным видом, к которому приводится любая

система дифференциальных уравнений, возникающих в вариационных задачах. В общем случае для приведения к нормальному виду также не требуется ничего, кроме дифференцирований и исключения переменных.

Задача. Рассмотреть задачу о нагруженном упругом стержне, приведенную в гл. II, п. 15, в частности интеграл (2.15.3). Ввести вспомогательный «импульс»

и преобразовать этот интеграл методом Гамильтона в

Интегрирование по частям интеграла (2.15.3) преобразует первый член подинтегрального выражения в Теперь мы имеем обычную лагранжеву задачу с переменными , которая может быть преобразована в гамильтонову форму, что даст две пары канонических уравнений для четырех переменных они заменяют собой одно первоначальное дифференциальное уравнение четвертого порядка для у. Показать эквивалентность канонической системы и первоначального дифференциального уравнения. Очевидно, что этот метод перехода от вторых производных к первым производным применим при любом количестве переменных. В общем случае при наличии производных порядка следует начать с выших производных, сводя их к производным порядка; затем процесс повторяется до тех пор, пока в подинтегральном выражении останутся одни лишь первые производные. Это и означает, что подинтегральное выражение приведено при помощи преобразования Гамильтона к каноническому виду.

Отметим, что произвольную систему дифференциальных уравнений можно путем введения соответствующей системы независимых переменных привести к виду

Однако дифференциальные уравнения, вытекающие из вариационного принципа, обладают тем отличительным свойством,

что их правые части сразу получаются в таком виде из одной-единственной функции путем дифференцирования. Функция определяет собой всю систему уравнений.

Особым свойством каноническнх уравнений является то, что они разбиваются на пары. При замене сопряженных переменных комплексными переменными

двойная система канонических уравнений (6.3.5) заменяется одной системой комплексных уравнений, а именно

Вследствие дуализма преобразования Лежандра каждой гамильтоновой задаче можно поставить в соответствие лагранжеву задачу. Для этого выражаются через при помощи уравнений

а затем подставляются в подинтегральное выражение. Это дает функцию Лагранжа зависящую только от

Резюме. Канонические уравнения Гамильтона могут рассматриваться как решение задачи Лагранжа с подинтегральным выражением особо простой структуры. Переменными в этой вариационной задаче являются варьируемые независимо друг от друга Подинтегральное выражение вариационной задачи приводится к нормальной форме