7. Бесконечно малые канонические преобразования.

Произведем некоторое произвольное каноническое преобразование, определяемое условием

Пусть теперь переменные преобразуются в другие переменные при помощи второго канонического преобразования

Суммируя, получаем

откуда видно, что прямой переход от переменных к переменным также является каноническим преобразованием. Это означает, что произведение двух канонических преобразований снова является каноническим преобразованием. Мы говорим, что канонические преобразования «обладают групповыми свойствами». Это играет важную роль в теории дифференциальных уравнений Ли. Там полное решение системы дифференциальных уравнений сводится к изучению некоторой непрерывной группы преобразований. Как будет видно из дальнейшего, канонические уравнения движения находятся в теснейшей связи с подобными непрерывными преобразованиями.

Рассмотрим производящую функцию содержащую параметр

В дальнейшем будет отождествлено со временем; пока же это просто переменный параметр.

Производящая функция вида (7.7.4) порождает бесконечное множество канонических преобразований, потому что каждому значению соответствует свое определенное каноническое преобразование. Рассмотрим теперь преобразование, соответствующее какому-то определенному

значению , а также близкое преобразование, относящееся к значению Каждое преобразование можно рассматривать, как отображение пространства самого на себя. Преобразование I отображает точку фазового пространства в некоторую точку , а преобразование II отображает ту же точку в какую-то другую точку Поскольку непрерывная функция две точки находятся близко одна к другой. Ввиду групповых свойств канонических преобразований переход из тоже есть каноническое преобразование. Мы встречаемся здесь с особым типом преобразований, когда каждая точка фазового пространства переходит в соседнюю близкую точку. Таким образом, можно положить

где малые величины, произведениями и квадратами которых можно пренебречь.

Подобное преобразование называется «бесконечно малым каноническим преобразованием». Оно обладает одним замечательным свойством: в то время как произвольное каноническое преобразование не допускает представления в явном виде, бесконечно малое каноническое преобразование может быть получено в явном виде.

Для наших целей будет более удобно обозначить первоначальные переменные, с которых мы начинаем, большими буквами Новые переменные при значении параметра, равном обозначим через а при значении параметра, равном через Тогда имеем

где

Записав разность двух уравнений (7.7.6), получим следующее замечательное соотношение:

Для дальнейших рассуждений нам нужно построить новую функцию. Первоначальная функция имеет вид (7.7.4) и такой же вид имеет ее частная производная по Введем теперь с помощью уравнений, определяющих каноническое преобразование

Из этих уравнений можно получить как функции Подставим теперь полученные значения и обозначим получившуюся функцию через — В

Это и есть та функция, которую нужно было построить.

Использовав эту новую функцию в правой части (7.7.8), получим

Сравнение двух частей этого уравнения дает а

Это и есть уравнения в явном виде для бесконечно малого канонического преобразования. Вместо «абсолютных координат» в новой системе отсчета могут быть использованы «относительные координаты» Эти координаты выражены в явном виде при помощи одной функции В, характеризующей преобразование. В качестве этой функции может быть выбрана произвольная функция переменных

Резюме. При бесконечно малом каноническом преобразовании точки фазового пространства получают бесконечно малые смещения. Формулы такого преобразования могут быть записаны в явном виде. Преобразование определяется заданием произвольным образом выбранной функции переменных