9. Движение заряженной частицы.

Предположим, что скалярная функция V заменена векторной функцией называемой «векторным потенциалом». В соответствии

с требованиями теории относительности следует предположить, что вектор имеет четыре компоненты (при использовании математических координат пространственные компоненты должны быть чисто мнимыми). Он является, таким образом, -вектором пространственно-временного мира. Рассмотрим этот вектор как некое поле, заданное в виде функции четырех координат Образовав скалярное произведение этого вектора на -вектор скорости, получим истинный скаляр в пространстве Минковского. Соответственно заменим потенциальную энергию инвариантом

где константа электрический заряд частицы. Запишем теперь инвариантный интеграл действия (опустив из соображений удобства знак минус)

При этом мы, как и раньше, желая сохранить равноправие координат пользуемся в качестве независимой переменной некоторым параметром . В результате функция Лагранжа принимает вид

Записывая четыре компоненты импульса

получаем уравнения движения в следующем виде:

где две константы соответственно заряд и масса частицы. Умножив обе части уравнения на получим равноценную форму записи

Перенесем второй член из левой в правую часть и, воспользовавшись соотношением

объединим правую часть в один член

где

Шесть величин являются компонентами некоторого антисимметричного «тензора».

Следует помнить, что компоненты являются чисто мнимыми, как и координаты Поэтому все действительные, а три компоненты — чисто мнимые. Соотношения между и обычными величинами электромагнитного поля оказываются следующими:

где — обычные векторы напряженности электрического и магнитного полей.

Для того чтобы придать уравнениям (9.9.6) обычный вид, снова выберем время в качестве независимой переменной. Для этого умножим обе части уравнений

Левая часть может быть выражена с помощью понятий ньютоновой физики. Если ограничиться первыми тремя уравнениями причем разделить обе части каждого из них на то левые части превратятся в «скорость изменения импульса» частицы, где «импульс» определяется согласно (9.5.11). Тогда правые части оказываются «движущей силой», потому что уравнение Ньютона, из которого мы исходим, гласит, что «скорость изменения импульса равна движущей силе»

Здесь -вектор, записываемый в привычных символах обычного векторного исчисления

Эта сила, называемая «силой Лоренца», действует на заряженную частицу. Последнее уравнение снова выражает закон сохранения энергии в форме: «скорость изменения кинетической энергии равна работе движущей силы» [кинетическая энергия при этом подразумевается в релятивистской форме (9.5.13)].

При последовательном релятивистском изложении мы должны были бы оперировать лишь с величинами, имеющими четырехмерный характер. Поэтому умножим обе части уравнений (9.9.11) на и запишем

где четыре компоненты -скоростн связаны соотношением

Совместность этого условия с уравнениями движения (9.9.14) легко усмотреть, если умножить эти уравнения на и составить сумму. Справа получится нуль из-за антисимметричности Слева же будем иметь

Это и означает, что величина (9.9.15) остается при движении постоянной.

Уравнения (9.9.14) допускают интересную геометрическую интерпретацию. В гл. VII, п. 8, показано, что движение фазовой жидкости можно рассматривать как непрерывное выполнение бесконечно малых канонических поеобразеваний. Сосредоточим внимание на векторе скорости

и запишем уравнения (9.9.14) в виде

Расписав подробно эти четыре уравнения, мы увидим, что они полностью совпадают с уравнениями (9.4.58), задающими бесконечно малое преобразование Лоренца. При этом электрический вектор играет роль а, а магнитный вектор роль Следовательно, движение вектора скорости электрона во внешнем электромагнитном поле можно рассматривать как непрерывную последовательность бесконечно малых преобразований Лоренца, причем компоненты этого преобразования задаются электромагнитным тензором

Интересным предельным случаем является движение электрона в поле плоской волны. Здесь Мы имеем здесь физическую реализацию того частного четырех-параметрического класса преобразований Лоренца, который разбирался раньше [см. (9.4.47-9.4.55)], когда все четыре собственных значения совпадали и три главные оси сливались в одну, лежащую на нуль-конусе.

Эта трехкратная ось задается выражением

в то время как другая ось (лежащая вне конуса) совпадает с направлением вектора напряженности магнитного поля

Рассмотрим теперь ту же самую задачу о движении методом Гамильтона. Поскольку функция Лагранжа (9.9.3) — снова однородная форма первого порядка относительно из теоремы Эйлера (6.10.4) следует, что Таким образом, должны быть связаны тождеством, которое используется в качестве дополнительного условия и занимает место функции Гамильтона.

Четыре уравнения (9.9.4) сразу дают

и совершенно аналогично (9.6.8) получим

Здесь А, выбрано равным 1, что попросту означает нормировку переменной по которой берутся производные. Последний член эквивалентен функции Гамильтона

Кажется удивительным, что при этом никуда вообще не вошла масса частицы Канонические уравнения Гамильтона имеют вид

и можно проверить, что они эквивалентны (9.9.14), если только в последних заменить множитель в левой части на заменить на

Умножим теперь обе части уравнений (9.9.14) на и образуем сумму. Правые части дадут нуль вследствие антисимметричности тензора Следовательно,

Это означает, что

Из дополнительного условия (9.9.19) следует, что

в то время как

Из сравнения двух последних тождеств видно, что наш — прежде неопределенный — параметр теперь оказывается равным

так что прежние уравнения (9.9.14) восстановлены теперь полностью.