7. Геометрическое решение уравнения в частных производных. Оптико-механическая аналогия Гамильтона.

В наших предыдущих рассуждениях предполагалось, что у нас есть полное решение дифференциального уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби. Предположим теперь гораздо меньшее, а именно что мы знаем лишь некоторое частное решение заданного уравнения в частных производных

без каких бы то ни было констант интегрирования.

Аналитически такое частное решение может быть использовано для интегрирования половины полной системы канонических уравнений. При помощи уравнений

можно выразить через После введения этих в первую группу канонических уравнений

наша задача сводится к решению этих дифференциальных уравнений первого порядка вместо первоначальной системы уравнений. Однако в дальнейшем мы будем интересоваться геометрическими, а не аналитическими методами решения.

Частное решение уравнения в частных производных (8.7.1) можно построить геометрически. Физическая интерпретация такого метода решения проливает новый свет на природу механических задач и разъясняет одно из самых значительных открытий Гамильтона — аналогию между оптическими лучами и механическими траекториями. В связи с развитием современных квантовомеханических теорий эта аналогия превратилась в одну из ведущих идей в современных атомных исследованиях.

В дальнейшем мы будем предполагать, что имеем дело с движением частицы в поле с потенциальной энергией . В качестве координат выберем обычные прямоугольные координаты х, у, z. В следующем пункте будет показано, что все наши выводы применимы и к движению произвольных механических систем.

Уравнение для энергии в нашей задаче имеет вид

Это приводит к следующему уравнению в частных производных для функции

Предположим, что — функция только х, у, z, без каких бы то ни было констант интегрирования

Это означает, что мы имеем частное решение дифференциального уравнения (8.7.5) вместо полного интеграла, который должен содержать две произвольные константы интегрирования Такое частное решение уравнения (8.7.5) допускает простую геометрическую интерпретацию.

Как известно, градиент функции имеет направление нормали к поверхности

Рассмотрим две близкие поверхности . В произвольной точке первой поверхности построим нормаль, которая пересечет вторую поверхность в точке

Абсолютное значение может быть определено как частная производная взятая в направлении нормали,

В соответствии с рис. 20 можно написать

Рис. 20.

Тогда уравнение (8.7.5) можно переписать в следующем виде:

Из этого уравнения следует метод построения поверхности по известной поверхности От каждой точки поверхности перпендикулярно к ней откладывается бесконечно малое расстояние а, вычисленное по (8.7.10).

Из такого построения следует возможность получения частного решения уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби при помощи последовательности бесконечно малых операций. Мы начинаем с любой заданной базисной поверхности в трехмерном пространстве и ставим ей в соответствие значение Затем строим близкую поверхность потом поверхности . В конце концов некоторая ограниченная область трехмерного пространства окажется заполненной

поверхностями так что через каждую точку пространства будет проходить одна такая поверхность. Это означает, что в некоторой области мы имеем функцию удовлетворяющую уравнению в частных производных (8.7.5).

Поверхности замечательным образом связаны с задачей движения. С помощью этой «частной» производящей функции 5 невозможно решить канонические уравнения в стиле теории интегрирования Якоби, так как мы не знаем, каким образом функция 5 зависит от переменных Однако вместо того, чтобы использовать вторую группу уравнений преобразования, можно обратиться к первой группе

Эти соотношения можно записать в виде векторного уравнения

Поскольку импульс имеет направление касательной к траектории, мы получаем следующую теорему: механическая траектория движущейся точки перпендикулярна поверхностям При помощи этой теоремы, строя ортогональные траектории к поверхностям S = const, получаем семейство возможных механических траекторий.

Эта теорема имеет следующий смысл. Представим себе семейство механических траекторий, каждая из которых свответствует одной и той же полной энергии и все они начинаются на некоторой заданной поверхности Для этих траекторий можно найти бесконечное семейство поверхностей к которым траектории будут перпендикулярны. Мы говорим, что механические траектории «обладают свойством лучей», потому что они ведут себя точно так же, как лучи света в оптике. Световые лучи характеризуются тем, что они везде перпендикулярны волновым поверхностям (фронту волны). То же самое справедливо для механических траекторий консервативной системы: их можно рассматривать как ортогональные траектории семейства поверхностей

Ортогональность световых лучей волновому фронту не имеет места в кристаллооптике. Подобно этому, и механические траектории

не всегда перпендикулярны поверхностям Электрон, движущийся в магнитном поле, не пересекает поверхности под прямым углом. Однако, как будет показано в п. 9 настоящей главы, ортогональность сохранится, если рассуждать не в образах евклидовой геометрии, а той геометрии, которая внутренне присуща динамической структуре пространства конфигураций. Мы увидим, что в тех случаях, когда линейный элемент взят в форме Якоби это различие не проявляется, потому что «внутренняя ортогональность» ведет к ортогональности в обычном смысле. В остальных случаях, однако, специальная «внутренняя ортогональность» лучей и волновых фронтов не приводит к ортогональности в обычном евклидовом смысле.

«Лучевые свойства» некоторого выделенного семейства механических траекторий ни в коем случае не являются тривиальными. Произвольное непрерывное семейство кривых в пространстве более чем двух измерений не может, вообще говоря, рассматриваться как семейство ортогональных траекторий по отношению к какому-нибудь семейству поверхностей. Аналитически лучевые свойства механических траекторий появляются лишь благодаря тому, что они подчиняются вариационным принципам. Без принципа наименьшего действия лучевые свойства механических траекторий не могли бы быть установлены.

Следует выделить условие, которое приводит к возникновению лучевых свойств механических траекторий, потому что мы фактически произвели определенный отбор среди всех возможных механических траекторий. Световые лучи в заданном оптическом поле образуют двумерное многообразие, в то время как совокупность всех механических траекторий в потенциальном поле образует пятимерное многообразие. С заданной базисной поверхности траектории могли бы начинаться с произвольными скоростями. Мы отбираем те траектории, которые имеют одну и ту же полную энергию и перпендикулярны заданной поверхности. Лучевые свойства устанавливаются именно для них. Механические траектории являются изолированными линиями, не пересекающимися друг с другом. Если при помощи какого-нибудь условия искусственно выделить некоторое семейство траекторий, то, вообще говоря, ничто не мешает добавить к ним некую «случайную» траекторию, не принадлежащую к этому Лмейству. В противоположность этому оптические лучи не могут существовать в изолированном виде, а всегда являются частью какого-то поля.

В «электронном микроскопе» оптическое изображение образуется при помощи движущихся электронов. Все электроны покидают нагретый катод практически с одинаковой полной энергией, потому что температура катода везде одинакова. Более того, ввиду наличия сильного электрического поля электроны покидают катод практически перпендикулярно его поверхности. Степень размытия получающегося оптического изображения определяется степенью нарушения

этих двух условий. Как мы покажем ниже, нарушение энергетического условия аналогично «хроматической аберрации» в оптике.

Лучевые свойства механических траекторий являются лишь частью глубокой аналогии, существующей между оптикой и механикой. Построение волнового фронта на основе принципа Гюйгенса также имеет механическую аналогию. Действительно, дифференциальная формулировка принципа Гюйгенса совпадает с уравнением в частных производных Гамильтона для оптики.

Принцип Гюйгенса в применении к бесконечно малым расстояниям может быть сформулирован следующим образом. Мы начинаем с некоторой произвольной поверхности, на которой имеется световое возбуждение в момент времени Затем строим близкую поверхность для момента времени используя значение скорости света в каждой точке базисной поверхности Построение полностью подобно приведенному на рис. 20. Если скорость света в точке то

Предположим, что среда оптически неоднородна, так что скорость света меняется от точки к точке. Тогда

где «коэффициент преломления» среды, скорость света в вакууме. Если задано во всех точках, то бесконечно малое расстояние

можно отложить от всех точек базисной поверхности, а затем многократно повторить это же бесконечно малое построение. Наконец, некоторая часть пространства заполнится поверхностями, определяемыми формулой

Эта -функция соответствует прежней -функции. Смысл ее таков: она равна времени, необходимому свету для того, чтобы пройти от базисной поверхности до заданной точки х, Ввиду соотношения, существующего между

бесконечно малым расстоянием а, разделяющим две близкие поверхности и градиентом функции [см. уравнение (8.7.9)], для получается следующее уравнение в частных производных:

Это основное уравнение геометрической оптики, выражающее в дифференциальной форме принцип Гюйгенса, было открыто Гамильтоном в его фундаментальных исследованиях в области геометрической оптики.

Рис. 21.

В механических задачах мы встречались с уравнением в частных производных (8.7.17) в форме (8.7.5). Это дифференциальное уравнение может теперь рассматриваться как аналог принципа Гюйгенса. Сравнивая правые части уравнений (8.7.17) и (8.7.5), можно для каждой данной механической задачи сформулировать соответствующую оптическую задачу, определив коэффициент преломления воображаемой оптической среды по формуле

где а — произвольная константа.

Отметим один поразительный исторический факт: еще на заре развития физических наук, когда методы высшей математики только

начинали разрабатываться, Иоганн Бернулли рассмотрел движение частицы в поле тяжести как оптическую задачу, введя фиктивный коэффициент преломления, пропорциональный

В своих рассуждениях мы исходили из волновых поверхностей (фронта) как в оптике, так и в механике, а оптические или механические пути рассматривали как траектории, ортогональные этим поверхностям. Теперь мы покажем, как из уравнения в частных производных, задающего волновые поверхности, может быть получен принцип минимума, определяющий эти траектории.

Рис. 22.

На рис. 21 изображен луч света, идущий вдоль ортогональной траектории которая начинается в точке на волновой поверхности и заканчивается в точке на поверхности Вместе с ним рассмотрим другой луч С, с теми же самыми конечными точками который не является ортогональной траекторией. Из геометрического построения поверхностей следует, что путь от до вдоль ортогональной траектории займет время

а для пути вдоль траектории С потребовалось бы время

где — угол между касательной к траектории и нормалью. Поскольку сумма (8.7.19) составлена только из положительных величин, а все члены в (8.7.20) больше или равны соответствующим членам (8.7.19), получим

Это неравенство выражает «принцип наименьшего времени распространения» Ферма: путь луча света отличается тем

свойством, что из заданной точки сеет приходит в другую заданную точку за минимально возможное время.

Казалось бы, из наших рассуждений следует, что принцип Ферма является истинным минимальным принципом, а не принципом стационарного значения, если сравнение происходит в «локальном» смысле, т. е. если истинные траектории сравниваются с траекториями, находящимися поблизости. Однако для справедливости нашего вывода требуется, чтобы вдоль всей траектории волновые поверхности были хорошо определенными, однозначными поверхностями с определенными нормалями. Между тем может возникнуть и другая ситуация (рис. 22). Рассмотрим пучок лучей, исходящий из точки Эти лучи вначале расходятся, но затем они могут снова начать сходиться, так что соседние траектории могут пересечься в какой-то точке . В этом случае волновая поверхность, которой принадлежит точка вырождается в точку. (В оптических инструментах каждому точечному источнику световых волн должно соответствовать «изображение» где волновые поверхности вырождаются в точку.) Наше заключение о настоящем относительном минимуме справедливо лишь до точки но не может быть распространено на область за точку так как в этом случае близкие траектории проходят через область, где они не пересекают никаких волновых поверхностей. Тогда величина 0 перестает быть действительной, а неравенство становится иллюзорным. При соответствующей ситуации в механике точка называется «кинетическим фокусом», сопряженным с точкой на траектории После того как мы проходим через кинетический фокус, принцип наименьшего действия перестает быть минимальным принципом.

Задача 1. Рассмотреть движение частицы по сфере в отсутствие внешних сил. Показать, что действие перестает быть минимальным, когда движущаяся точка проходит через «кинетический фокус», находящийся в «антиполюсе» по отношению к точке

Задача 2. Найти кинетический фокус в поле тяжести Земли для частиц, вылетающих из определенной точки в различных направлениях, но с одной и той же энергией Исследовать свойство «минимальности» в принципе наименьшего действия в связи с этим кинетическим фокусом.

Минимизация времени означает минимизацию интеграла

Следовательно, имеется два принципа, с помощью которых можно описать оптические явления. Можно использовать принцип волнового фронта, определив из уравнения в частных производных (8.7.17) функцию а затем строя траектории,

ортогональные к поверхностям другой стороны, можно использовать принцип Ферма, минимизирующий интеграл (8.7.22). Эти два принципа полностью эквивалентны.

Подобный же дуализм проявляется в механических задачах. Можно определить механические пути как ортогональные траектории к волновым поверхностям определив 5 из решения уравнения в частных производных (8.7.5). Можно также использовать принцип минимума, аналогичный принципу Ферма (8.7.22). Ввиду соотношения (8.7.18) этот принцип должен сводиться к минимизации определенного интеграла

А это не что иное, как принцип Якоби (см. гл. V, п. 6), который снова оказался эквивалентным принципу наименьшего действия. Параллелизм между механическими и оптическими явлениями можно усмотреть уже из сравнения принципа Якоби с принципом Ферма. Принцип Якоби допускает оптическую интерпретацию, если консервативной механической системе поставить в соответствие оптическую среду с коэффициентом преломления, меняющимся пропорционально Эта аналогия может быть использована обеими науками. С одной стороны, канонические уравнения Гамильтона становятся применимыми в оптических задачах. С другой стороны, из оптики в область механики могут быть перенесены методы построения волновых фронтов Гюйгенса.

Все сказанное придает новый смысл функции определенной как произвольное частное решение уравнения Гамильтона — Якоби. Полный интеграл этого уравнения был интерпретирован с помощью абстрактных математических понятий: он представлял собой производящую функцию определенного канонического преобразования. Однако -функция в виде частного решения имеет гораздо более непосредственный физический смысл. Оптическим эквивалентом функции является функция определяющая время, необходимое свету для прохождения от одного волнового фронта до другого. Это время может быть определено с помощью

интеграла (8.7.22), взятого вдоль траекторий, ортогональных к волновому фронту. Соответствующим интегралом в механике является действие (8.7.23). Интеграл (8.7.23) берется, начиная от заданной базисной поверхности, вдоль истинных механических траекторий с одной и той же полной энергией которые идут перпендикулярно к этой поверхности. Записав это действие в виде функции координат конечной точки траектории, получим функцию Поверхности будут, таким образом, поверхностями равного действия, а действие измеряется, начиная от произвольной базисной поверхности, для которой принято, что

Такая интерпретация -функции сильно напоминает главную функцию Гамильтона Единственное различие заключается в том, что в случае -функции мы начинаем от некоторой точки, а не от поверхности. Действие вычисляется вдоль произвольной механической траектории, исходящей из точки х, у, z, вплоть до точки х, у, z. В рассмотренном же выше случае -функции можно начать с произвольной базисной поверхности, двигаясь затем от этой поверхности вдоль произвольной ортогональной траектории.

Заслуживает внимания еще один аспект оптико-механической аналогии. В заданной области пространства могут распространяться световые колебания различных частот. Может случиться так, что коэффициент преломления зависит от частоты. Это явление называется «дисперсией». При наличии дисперсии первоначальный волновой фронт распространяется различным образом для разных частот. В оптических приборах это явление называется «хроматической аберрацией». Явлению дисперсии в оптике тоже может быть предложена соответствующая механическая аналогия. Механические траектории, начинающиеся перпендикулярно базисной поверхности могут несколько различаться по своей полной энергии Это происходит, например, в электронном микроскопе, где тепловое движение электронов вызывает небольшой разброс значений их полной начальной энергии Это приводит к дисперсии и к небольшой хроматической аберрации в картине, получаемой с помощью электронного микроскопа.

В оптико-механической аналогии время распространения света и действие являются соответственными величинами. Исходя из заданной начальной поверхности, можно определить бесконечное семейство поверхностей, до которых за последовательно малые интервалы времени доходят световые

импульсы. Соответствующими поверхностями в механике являются поверхности равного действия. Очень важно, что оптико-механическая аналогия касается только механических траекторий и световых лучей. Движение же во времени происходит по совершенно различным законам. Частицы, начинающие двигаться с одинаковой полной энергией в направлениях, нормальных к некоторой базисной поверхности, не остаются в процессе движения на поверхностях равного действия. Они оставались бы в том случае, если бы для соседних волновых фронтов выполнялось соотношение (8.7.13). На самом же деле величина равна импульсу поэтому, исходя из уравнения в частных производных Гамильтона-Якоби, соотношение (8.7.13) в случае механики должно быть записано в виде

Бесконечно малое расстояние между двумя соседними волновыми фронтами оказывается не прямо, а обратно пропорциональным скорости. Поэтому поверхности, на которых движущиеся частицы находятся в фиксированные моменты времени, совершенно отличны от поверхностей равного действия.

Выбор между корпускулярной теорией и волновой теорией света не может быть сделан на основании изучения одних только траекторий световых лучей. Законы отражения и преломления могут быть получены и из чисто механических соображений. Однако в корпускулярной теории закон преломления получается в виде

а из волновой теории следует обратное соотношение

Выбор между этими двумя теориями был сделан на основании знаменитого эксперимента Фуко (1850 г.), показавшего, что свет распространяется в воде медленнее, чем в воздухе. Этот результат противоречил корпускулярной теории света.

Задача 3. Пронормируем массу движущейся частицы и скорость света таким образом, чтобы они стали равны 1. Тогда из уравнения оптико-механической аналогии (8.7.18) получим . Скачкообразному изменению коэффициента преломления на границе двух

оптических сред соответствует скачкообразное поведение соответствующего потенциала Заменив этот скачок крутым, но непрерывным изменением потенциала V в пограничном слое, объяснить механический смысл законов отражения и преломления.

Задача 4. Пусть задан непрерывно изменяющийся от точки к точке коэффициент преломления соответствующий непрерывному полю сил с потенциальной энергией . Дать интерпретацию дифференциальной формулировке закона преломления

и показать, что она определяет искривление светового луча в соответствии с законом механики

где компонента силы вдоль главной нормали, радиус кривизны траектории.

Резюме. Механические траектории консервативных систем могут быть получены из частного решения уравнения в частных производных Гамильтона — Якоби с помощью построения ортогональных траекторий к поверхностям Это построение аналогично построению волнового фронта и световых лучей в геометрической оптике. Поверхности равного времени в оптике соответствуют поверхностям равного действия в механике, а принцип наименьшего времени Ферма — принципу наименьшего действия или принципу Якоби. И оптические и механические явления могут быть описаны как с помощью волн, так и с помощью частиц. При описании с помощью волн мы оперируем с бесконечным семейством поверхностей, которое определяется уравнением в частных производных Гамильтона. При описании же с помощью частиц мы оперируем с ортогональными траекториями к этим поверхностям, и они определяются принципами. Ферма и Якоби. Аналогия распространяется только на траектории механических частиц, не касаясь того, как движение происходит во времени. Кроме того, при этой аналогии среди всех возможных механических траекторий выделяются те, по которым движение начинается перпендикулярно к заданной. поверхности.