2. Преобразование Лежандра в применении к функции Лагранжа.

Функция Лагранжа появляющаяся в вариационной задаче, зависит в общем случае от позиционных координат скоростей и времени

Для нас сейчас неважно, что скорости действительного движения, в своих рассуждениях мы будем их считать просто переменными, независящими от

Применим преобразование Лежандра, считая активными переменными, а остальные переменные пассивными. Другими словами, соответствуют соответствуют в общей схеме. Поэтому в данной задаче число пассивных переменных равно

Следуя общей схеме преобразования Лежандра, произведем последовательно следующие три операции.

1. Введем «новые переменные», которые теперь называются импульсами и обозначаются через

2. Введем новую функцию, назвав ее «полной энергией» и обозначив ее через

3. Выразим новую функцию через новые переменные разрешив уравнения (6.2.2) относительно и подставив их в (6.2.3). В результате получим

где теперь называется «функцией Гамильтона». Общая схема преобразования выглядит таким образом:

Пассивные переменные: позиционные координаты, время.

Дуальная природа преобразования отражается в следующих уравнениях:

Мы исходили из функции Лагранжа и с помощью трех последовательных операций построили функцию Гамильтона Точно так же можно начать с функции Гамильтона и построить тремя последовательными операциями функцию Лагранжа L.

Уравнения (6.1.9) общей схемы теперь принимают вид

Резюме. Преобразование Лежандра можно применить к функции Лагранжа считая скорости активными переменными преобразования, а позиционные координаты и время пассивными. Скорости преобразуются в импульсы; функция Лагранжа преобразуется в функцию Гамильтона.