8. Дополнительные условия; физический смысл неопределенных множителей Лагранжа.

При изучении общих вопросов вариационного исчисления мы подробно обсуждали, как следует оперировать с механическими системами, на которые наложены кинематические связи (см. гл. II, п. 12). При голономных связях, заданных в форме аналитических соотношений между переменными

можно поступить двумя различными способами. Во-первых, можно, с помощью дополнительных условий (5.8.1) исключить координат сведя тем самым заданную систему к свободной системе без связей. Во-вторых, можно обойтись без исключений, применив метод неопределенных множителей Лагранжа. Для этого подинтегральное выражение в вариационной задаче преобразуется в путем добавления левых частей уравнений (5.8.1), каждая из которых предварительно умножена на некоторый неопределенный множитель После этого с задачей можно оперировать как

со свободной, несмотря на имеющиеся дополнительные условия.

Поскольку неопределенные множители, можно с равным успехом использовать записав в форме

В обычных задачах классической механики представляется в виде разности Модификацию функции можно приписать изменению потенциальной энергии V, считая, что V преобразуется в V

Этот изящный математический прием имеет неожиданную и вместе с тем поучительную физическую интерпретацию. То обстоятельство, что после изменения функции Лагранжа вариационная задача становится свободной, означает, что мы опускаем имеющиеся кинематические связи и рассматриваем механическую систему так, как если бы связей не было. При этом, однако, замена функции V на V означает, что мы добавляем к потенциальной энергии приложенных сил потенциальную энергию сил, обеспечивающих удовлетворение заданных связей. Эти силы задаются выражениями

Таким образом, те условия, с которыми мы встречались раньше в статике (ср. гл. III, п. 5), появляются теперь в том же самом виде в динамике. Снова метод -множителей Лагранжа определяет силы реакции имеющихся связей.

Имеется, однако, один аспект задачи, требующий особого внимания. Пусть заданные кинематические условия (5.8.1) и потенциальная энергия V не зависят явно от времени Тогда система является консервативной; в этом можно сразу же убедиться, если при учете дополнительных условий применить метод исключения лишних переменных. Следовательно, силы реакции также должны быть консервативными; это означает, что их потенциальная энергия не должна зависеть от . С другой стороны, являются функциями

что создает впечатление, будто бы потенциальная энергия сил реакции

является также функцией

Это кажущееся противоречие проистекает из того факта, что потенциальная энергия сил реакции известна только вдоль С-кривой. Более детальный анализ снимает это противоречие и приводит к интересной физической интерпретации множителей

Достаточно рассмотреть одно дополнительное условие

так как результаты легко обобщаются на случай произвольного числа подобных условий. Предположим, что потенциальная энергия сил реакции связи (5.8.6) имеет вид

[Это предположение нуждается в уточнении. Очевидно, что (5.8.6) не определяет однозначно функцию потому что это самое условие можно задать и в более общей форме

где — любая другая функция координат, которая не обращается в нуль на поверхности Поэтому аргумент функции в (5.8.7) должен быть фактически заменен на где некоторая функция . Более общий случай рассматривается в задаче 4 в конце этого пункта.] Естественно, что удовлетворение связи (5.8.6) обеспечивается за счет появления значительных сил, поэтому уравнение (5.8.6) не может сильно нарушаться. Ввиду этого потенциал будет интересовать нас лишь для малых значений Следовательно, функцию можно разложить в ряд Тейлора в окрестности Поскольку постоянные слагаемые в потенциальной энергии не существенны, можно написать

При этом мы пренебрегаем членами выше второго порядка.

Известно, что силы реакции не проявляются до тех пор, пока условие (5.8.6) выполняется точно. Это означает, что должно соответствовать состоянию равновесия сил реакции; более того, можно также утверждать, что заданная связь не могла бы поддержаться, если бы состояние равновесия не было устойчивым. Следовательно, функция должна иметь минимум при Это означает, что

а должна быть положительной. Пусть

где малая постоянная положительная величина. Малость отражает тот факт, что связь (5.8.6) поддерживается большими по величине силами. Строгое выполнение условия (5.8.6) в течение длительного времени потребовало бы бесконечно больших сил, т. е. .

Поскольку в действительности хотя и малая, но все же конечная величина, условие (5.8.6) не может точно удовлетворяться в процессе движения. Истинное движение происходит в соответствии с уравнением

где некоторая функция времени. Имея в виду малость можно сказать, что условие выполняется лишь макроскопически. Правую часть уравнения (5.8.12) можно назвать «микроскопической ошибкой» данной связи Эта ошибка меняется со временем Потенциальная энергия

приводит к появлению силы

в то время как, согласно методу неопределенных множителей Лагранжа,

Сравнение (5.8.14) и (5.8.15) приводит к равенству

или, учитывая (5.8.12),

Это соотношение показывает, что лагранжевы -множители являются мерой микроскопического нарушения уравнения связи Правая часть этого уравнения в действительности не нуль, а произведение где — малая положительная величина, стремящаяся к нулю, когда силы, поддерживающие связь, стремятся к бесконечности.

Мы получили, таким образом, объяснение того, почему потенциальная энергия сил реакции на первый взгляд зависит от времени хотя в действительности силы консервативны.

Мы еще раз установили результат — как это уже было сделано для систем, находящихся в равновесии, — согласно которому голономные дополнительные условия механически эквивалентны моногенным силам. Можно добасить, что склерономные голономные условия эквивалентны консервативным моногенным силам.

Задана 1. Рассмотреть двухатомную молекулу со следующей структурой: потенциальная энергия внутренних сил имеет вид

где расстояние между атомами, большая постоянная величина. Показать, что движение системы под действием приложенных сил с потенциальной энергией V макроскопически эквивалентно движению двухатомной молекулы без какого бы то ни было но с дополнительным условием

Задача 2. Показать, что в предыдущей задаче множитель Лагранжа равен микроскопическому нарушению условия умноженному на

Задача 3. Рассмотреть тяжелую материальную точку массы движущуюся по сфере

Показать, что множитель в этой задаче пропорционален микроскопическому упругому проникновению в глубь сферы, вызываемому давлением точки на поверхность сферы. Множитель X, а вместе с ним

и сила реакции обращаются в нуль в точке, где масса покидает сферу, продолжая свое движение в свободном падении.

Задача 4. Рассмотреть более общую задачу, возникающую в связи с тем, что функция определяется уравнением неоднозначно; вследствие этого простое выражение (5.8.7) следует заменить более общим предположением

где неизвестная функция координат. Для исключения этой неизвестной функции нужна дополнительная информация, не содержащаяся в уравнении связи Известно, что поверхность является эквипотенциальной для сил реакции. Предположим, что нам известна в пространстве конфигурации вторая, близкая эквипотенциальная поверхность. Ее можно охарактеризовать, задав в каждой точке поверхности бесконечно малое расстояние между двумя эквипотенциальными поверхностями , где положительная бесконечно малая величина. В этом случае можно установить следующее соотношение для

Снова оказалось пропорциональным т. е. микроскопическому нарушению связи однако множитель пропорциональности уже не является константой, хотя и остается существенно положительной величиной.

Эта дополнительная информация потребовалась только для интерпретации множителя Сила реакции не зависит от неизвестной функции и всегда полиостью определяется методом неопределенных множителей Лагранжа.

Резюме. Физический смысл метода неопределенных множителей Лагранжа при решении задач с дополнительными условиями заключается в том, что имеющиеся кинематические связи заменяются силами, поддерживающими эти связи. Этот метод позволяет определить силы реакции, обусловленные данными связями. Силы реакции возникают вследствие микроскопических отклонений от связей, а - множители могут быть интерпретированы как мера этих отклонений. Отклонения меняются в процессе движения, что делает функциями несмотря на консервативную природу сил, поддерживающих заданные связи.