8. Интегральные инварианты, теорема Гельмгольца о циркуляции.

Французский математик Пуанкаре (1859—1912) предложил для любых интегралов, связанных с фазовой жидкостью и сохраняющих свою величину при движении фазовой жидкости, название «интегральные инварианты». Объем а фазовой жидкости, рассматривавшийся в предыдущем пункте, является одним из примеров подобных интегральных инвариантов. Другим важным примером является величина, введенная Гельмгольцем и называемая «циркуляцией».

Вернемся к теореме, сформулированной в гл. V, п. 3 [см. там в которой определяется вариация интеграла

(кликните для просмотра скана)

действия при произвольных вариациях которые могут даже и не обращаться в нуль в двух граничных точках

Эта важная теорема может применяться в гамильтоновой форме механики без каких бы то ни было изменений, поскольку вариации не влияют на Следовательно, (6.8.1) имеет место при произвольных вариациях

Используем эту теорему следующим образом. Проведем произвольную замкнутую кривую в фазовом пространстве в некоторый момент времени Предположим, что это «материальная линия», т. е. что она жестко связана с частицами жидкости и движется вместе с ними. Поэтому в какой-либо другой момент времени кривая будет находиться уже в другом месте фазового пространства. Она по-прежнему будет замкнутой кривой. Пусть в момент времени кривая задана в параметрической форме

Напишем следующий криволинейный интеграл, взяв его вдоль замкнутой кривой

Эта величина инвариантна при движении,

Сказанное иллюстрируется рис. 8. Фазовое пространство в моменты времени и изображено в виде двух сечений -мерного пространства состояний. Точка переносится движущейся жидкостью в точку , а соседняя точка — в точку Линии и являются мировыми линиями частиц жидкости. Интеграл действия между точками и имеет значение А, а между точками значение Так как линия может

рассматриваться как вариация линии применив теорему (6.8.1), получим

Рис. 8.

Интегрируя это равенство между точками кривой получаем

Если полностью обойти всю кривую так чтобы конечная и начальная точки совпали, то обратится в нуль. Следовательно,

Так как произвольны, отсюда следует теорема (6.8.4).

1 Гельмгольц интересным образом использовал эту «теорему о циркуляции». Рассмотрим движение частицы в поле силы с потенциальной энергией Связанное с этой задачей фазовое пространство имеет шесть измерений. Однако

для того чтобы наглядно изобразить содержание теоремы (6.8.4), отнюдь не нужно шести измерений. Вместо того чтобы рассматривать как три дополнительные координаты, можно ввести вектор с компонентами в точке пространства конфигураций. Выберем в качестве координат обычные прямоугольные координаты Мы получим тогда замкнутую кривую в обычном трехмерном пространстве, а вдоль этой кривой непрерывное векторное поле с компонентами Так как вектор импульса ресть попросту где -скорость, то циркуляция принимает вид

где векторный элемент длины замкнутой кривой. Это представление обходится без шестимерного фазового пространства, которое заменяется трехмерным пространством конфигураций.

В общем случае пространство конфигураций не имеет ничего общего с реальным физическим пространством. Однако пространство конфигураций одной частицы совпадает с физическим пространством. Различные траектории в пространстве конфигураций представляют собой траектории самой частицы, относящиеся к разным начальным условиям. Эти траектории могут также рассматриваться как линии тока так называемой «идеальной жидкости», т. е. физической жидкости (необязательно несжимаемой), которая не обладает вязкостью и имеет постоянную температуру. На частицы такой жидкости действуют, конечно, силы со стороны окружающих частиц, но из гидродинамических уравнений Эйлера видно, что эти силы имеют потенциал и эквивалентны некоторой внешней моногенной силе. Следовательно, выполняются условия применимости принципа Гамильтона, и линии тока движущейся жидкости совпадают с линиями тока в пространстве конфигураций, к которым применима теорема о циркуляции. Мы получаем таким образом теорему Гельмгольца о циркуляции, которая утверждает, что

где интеграл берется вдоль любой замкнутой кривой в идеальной жидкости, причем кривая движется вместе с жидкостью.

Отсюда следует, что если циркуляция вдоль любой замкнутой кривой равна нулю в момент времени то это свойство сохраняется и в дальнейшем. Это значит, что жидкость, в которой вихри сначала отсутствуют, будет оставаться безвихревой сколь угодно долго. Другими словами, вихри не могут возникать или исчезать.

Резюме. «Циркуляция» является инвариантом движения фазовой жидкости. Она представляет собой величину проинтегрированную вдоль произвольной замкнутой кривой фазового пространства. Инвариантность циркуляции имеет для фазовой жидкости тот же смысл, что и теорема Гельмгольца для идеальной физической жидкости: обе они утверждают сохраняемость вихрей.