3. Преобразование уравнений движения Лагранжа.

Уравнения движения Лагранжа являются дифференциальными уравнениями второго порядка относительно позиционных координат Однако, введя в качестве промежуточных величин импульсы

эти уравнения можно записать в виде дифференциальных уравнений первого порядка

Мы попросту назвали некоторую совокупность величин «импульсами» с целью упростить форму записи уравнений Лагранжа. Однако введение привело к замене первоначальной системы из дифференциальных уравнений второго порядка системой из дифференциальных уравнений первого порядка, а именно из уравнений (6.3.1) и (6.3.2). Введение привело к тому, что для записи уравнений не требуются производные выше первого порядка. Эта процедура аналогична тому, как в векторной механике, определив импульс как «произведение массы на скорость», мы заменяем «произведение массы на ускорение» на «скорость изменения импульса».

Применим теперь преобразование Лежандра, подобно тому как мы это сделали в предыдущем пункте. Вследствие дуализма преобразования вместо уравнений (6.3.1) можно написать

Уравнения (6.3.1) и (6.3.3) эквивалентны друг другу. Следует отметить, что эти уравнения не отражают какого-либо физического закона. Уравнения (6.3.1) являются просто определением импульса, а в уравнениях (6.3.3) это определение переписано таким образом, чтобы скорости были выражены через импульсы, а не импульсы через скорости.

Уравнения движения Лагранжа содержатся в уравнениях (6.3.2). Применив преобразование Лежандра, их можно записать в виде [см. (6.2.6)]

Теперь, наконец, уравнения движения Лагранжа полностью заменены новой системой дифференциальных уравнений, которые называются «каноническими уравнениями Гамильтона»,

Эти уравнения полностью эквивалентны первоначальным лагранжевым уравнениям, являясь лишь их новой математической формулировкой. Однако новые уравнения обладают огромным преимуществом по сравнению с первоначальными: производные по времени в них появляются лишь в левых частях уравнений, потому что функция Гамильтона не содержит производных или по времени

Эта замечательная система уравнений впервые появилась в одной из статей Лагранжа (1809), в которой шла речь о теории возмущений для механических систем. Лагранж не заметил глубокой связи между этими уравнениями и уравнениями движения. Первый указал на истинное значение этих уравнений Коши (в неопубликованном мемуаре в 1831 г.). Гамильтон положил эти уравнения в основу своих выдающихся исследований в области механики. Поэтому название «канонические уравнения Гамильтона» вполне оправдано, хотя работа Гамильтона появилась лишь в 1835 г.

Резюме. Уравнения движения Лагранжа являются дифференциальными уравнениями второго порядка. Применение преобразования Лежандра замечательным образом отделяет дифференцирование по времени от аналитических операций над переменными. Новые уравнения образуют систему дифференциальных уравнений первого порядка. Они называются «каноническими уравнениями».