15. Вариационное исчисление и граничные условия.

Задача об упругом стержне Во всех наших предыдущих рассуждениях мы интересовались в основном дифференциальными уравнениями, которые получались как решение задачи о стационарном значении заданного определенного интеграла. Вывод этих уравнений при помощи интегрирования по частям показывает, что вариация определенного интеграла состоит из двух частей: из интеграла, распространенного на данный интервал, и граничного члена. Мы не рассматривали до сих пор этот член, так как задача решалась при граничных условиях, обращавших его в нуль. Однако имеются случаи, когда граничный член играет более активную роль. Ниже, при изучении работ Гамильтона по решению дифференциальных уравнений динамики при помощи уравнения в частных производных, мы увидим, что в математически более сложных вопросах механики этот ранее отброшенный член окажется существенным. Здесь, однако, мы хотим обсудить другой аспект вопроса о граничном члене, имеющий более непосредственный физический смысл.

Как известно, любая задача, приводящая к решению дифференциальных уравнений, требует определенного числа граничных условий для того, чтобы решение было единственным. Эти условия формулируются на основе - имеющихся физических соображений. Может, однако, случиться, что физические соображения не приводят к граничным условиям либо дают их в количестве, недостаточном для получения однозначного решения.

В качестве иллюстрирующего примера возьмем задачу из механики сплошной среды. Рассмотрим закрепленный на концах горизонтальный гибкий стержень, находящийся под действием вертикальных сил, например, сил веса. Прогиб стержня определяется дифференциальным уравнением

четвертого порядка, которое требует задания четырех граничных условий. Если защемить оба конца стержня, то и сами прогибы и первые производные от прогибов на концах стержня будут равны нулю; это даст как раз четыре граничных условия.

Однако можно не защемлять стержень, а лишь подпереть его с обоих концов. В этом случае из физических соображений следуют лишь два граничных условия — обращение в нуль прогибов на обоих концах, в то время как производные остаются неопределенными. Откуда же взять два дополнительных граничных условия?

Замечательное свойство вариационных задач заключается в том, что в них всегда автоматически возникает нужное число граничных условий. Эти граничные условия, не обусловливаемые имеющимися внешними обстоятельствами, следуют из сути вариационной задачи. Для наличия стационарного значения эти дополнительные граничные условия существенны в такой же степени, как и выполнение дифференциальных уравнений Эйлера — Лагранжа. Появление этих дополнительных условий связано с граничным членом в «Наложенные извне» (внешние) и «естественные» граничные условия, вместе взятые, обеспечивают единственность решения.

Проиллюстрируем этот принцип на упоминавшейся выше задаче о нагруженном гибком стержне. Равновесие стержня определяется из условия минимальности его потенциальной энергии. Мы не будем останавливаться на выводе выражения для упругой энергии стержня, который можно найти в любом учебнике по теории упругости. Обозначим через I длину стержня, а через независимую переменную, изменяющуюся от 0 до и определяющую положение любой точки стержня. Малое вертикальное перемещение (прогиб) под действием нагрузки обозначим через а величину нагрузки на единицу длины — через Предположим также, что стержень имеет постоянное сечение. Тогда потенциальная энергия, обусловленная силами упругости, определится формулой

где k - константа, а потенциальная энергия силы тяжести имеет вид

Следовательно, интеграл, минимум которого нас интересует, будет иметь вид

Дифференциальное уравнение Эйлера — Лагранжа в этом случае запишется, согласно (2.10.11), следующим образом:

Если удовлетворить этому уравнению, то вариация сводится к граничному члену, который в нашей задаче имеет вид [см. (2.10.12)]

1. Защемленные концы. Граничные условия, наложенные на стержень, имеют вид

Так как вариации фиксированных величин равны нулю, то все члены в (2.15.5) обращаются в нуль, и единственным условием обращения в [нуль остается дифференциальное уравнение (2.15.4). Все граничные условия здесь наложены извне и никакие естественные условия не добавляются.

2. Опертые концы. Внешних условий всего два

Следовательно, вариации произвольны и для обращения в нуль выражения (2.15.5) необходимо выполнение добавочных граничных условий:

которые дополняют внешние условия (2.15.7).

3. Один конец защемлен, другой свободен. Пусть стержень защемлен в точке и свободен на другом конце. Внешние граничные условия при этом

в то время как и не заданы. Следовательно, вариации этих величин произвольны и для обращения в нуль (2.15.5) требуется выполнение условий

Эти условия возникают как следствие вариационной задачи и дополняют внешние условия (2.15.9).

4. Оба конца свободны. Естественные граничные условия (2.15.10) выполняются теперь на обоих концах

Заметим, что здесь уже все граничные условия вытекают из вариационной задачи. «Наложенных извне» условий нет, но естественные условия имеются в нужном количестве.

Легко видеть тем не менее, что в последней задаче возникают свои специфические трудности, так как стержень не может находиться в равновесии при отсутствии соответствующей поддержки со стороны двух сил, направленных вверх. Мы будем рассматривать эти силы как предельный случай сил, непрерывно распределенных вдоль стержня; поэтому их можно включить в нагрузку приписав силам, направленным вверх, отрицательный знак. В общей теории дифференциальных уравнений показывается, что правая часть уравнения (2.15.4) может быть задана произвольным образом лишь в том случае, если соответствующее однородное дифференциальное уравнение, т. е. дифференциальное уравнение не имеет решений, кроме как Во всех предыдущих случаях граничные условия были таковы, что дифференциальное уравнение

не имело нетривиальных решений. Здесь же существуют два таких независимых решения, а именно

В подобных случаях задача имеет решение только при условии, что «ортогонально» к решениям (2.15.13) и (2.15.14) однородного уравнения, т. е.

и

Физический смысл этих условий заключается в том, что сумма сил и сумма моментов сил, действующих на стержень, равны нулю. Эти условия определяют две поддерживающие силы, необходимые для равновесия стержня. Эти силы получаются, таким образом, из условий интегрируемости краевой задачи; граничные же условия задачи целиком определяются с помощью вариационного исчисления.

Задача 1. Исследовать случай, когда конец поддерживается (но не защемлен), а конец свободен. Показать, что имеется лишь одно условие интегрируемости: «сумма всех моментов равна нулю».

Задача 2. Рассмотреть случай двух стержней различного сечения, жестко скрепленных друг с другом. Здесь константа в дифференциальном уравнении (2.15.4) испытывает скачок в точке соединения стержней. Показать, что граничный член (2.15.5) приводит к двум условиям непрерывности в точке именно к требованию, чтобы были непрерывны в точке .

Резюме. Решение дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений не единственно, если не добавлено нужное количество граничных условий. Задачи, связанные с нахождением стационарного значения определенного интеграла, всегда имеют нужное число граничных условий. Если условия задачи не дают достаточного количества граничных условий, то недостающие условия получаются из самой вариационной задачи, потому что граничный член в вариации добавляет некоторые «естественные» условия к имеющимся условиям, «наложенным извне». Задача об упругом стержне с различными способами закрепления концов прекрасно иллюстрирует это положение.